Вычисление моментов инерции материальных кривых

[Men007]

Вычислить моменты инерции параболы $y=x^{2}$ $(-1\leqslant x \leqslant 1)$ относительно осей и начала координат.

Решение:
Примем для $\rho(x,y)=1$.

$dl=\sqrt{1+(y')^{2}}dx=\sqrt{1+(2x)^{2}}dx=\sqrt{1+4x^{2}}dx$.

$I_{yy}=\int\limits_{L} x^{2}\rho(x,y)dl=\int\limits_{-1}^{1} x^{2}\sqrt{1+4x^{2}}dx$
Сделаем замену:
$x=\frac{1}{2}\sh t$.
Следовательно получим:
$I_{yy}=\frac{1}{8}\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} (\sh t)^{2} (\ch t)^{2}dt=\frac{1}{8}\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh}2} (\sh t)^{2} (1+ (\sh t)^{2})dt=\frac{1}{8}\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} ((\sh t)^{2} + (\sh t)^{4})dt=\frac{1}{8}(\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} \frac{1}{2}(\ch 2t -1)dt+ \int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} (\frac{3}{8}-\frac{\ch 2t}{2}+\frac{\ch 4t}{8})dt)=\frac{1}{8}(\frac{1}{2} \int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} \ch 2t dt - \frac{1}{2}\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} dt + \frac{3}{8}\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} dt - \frac{1}{2}\int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} \ch 2t dt +\frac{1}{8} \int\limits_{\operatorname{arsh} (-2)}^{\operatorname{arsh} 2} \ch 4t dt) ... $

В итоге после огромного числа преобразований и упрощений, получаем:

$I_{yy}=\frac{1}{32} (18\sqrt{5}-\ln(2+\sqrt{5}))$.

А нельзя ли данный интеграл решить как-нибудь проще и короче?

К тому же, необходимо вычислить еще $I_{xx}$, а тут уже у $\sh t$ получим шестую степень, и нужно применять будет формулу понижения для шестой степени (которая мне неизвестна).

Как такие интегралы правильно решить?

[thething]

Пользуйтесь тождествами для гиперболических функций, например, $2\sh t\ch t=\sh 2t$, понижение степени и т.д.

-- 13.05.2018, 19:00 --

Шестую степень можно понизить либо понизив две третьи степени, либо понизив три вторых степени. В общем, см. википедию