ОДУ первого порядка

[SomePupil]

$$y' = f(x, y)$$

Функции $f, f_x, f_y, f_{xy}$ непрерывны в области $D,$ причем $f$ нигде не обращается в нуль и $ff_{xy} = f_x f_y$ на $D.$ Надо показать, что исходное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. И еще есть дополнительный вопрос: обязательно ли требовать, чтобы $f$ нигде не обращалось в нуль?

Я нашел, что исходное уравнение равносильно (возможно, я тут не ошибся) $\frac{f_{xy}}{f_x}y' = f_y.$ Кроме того,

$$\left(\frac{f_{xy}}{f_x}\right)'_x = \left(\frac{f_y}{f}\right)'_x = 0.$$

Таким образом, коэффициент при $y'$ зависит только от $y.$ Но как показать, что член справа зависит только от $x$? Я еще не догадался.

Дифференцирование по $x,$ которое я провел, правомерно только когда $f \ne 0$ на $D,$ но это еще не значит, что независимость выражения от $x$ невозможно доказать по-другому. Но все же, мне кажется, требование $f \ne 0$ существенно. Видимо, в конце придется привести явный пример, когда у $f$ есть нули, и в силу этого уравнение не будет разделяться.

[DeBill]

А почему бы просто не решить уравнение $(\frac{f_y}{f})_x' =0$ ?