Re: Тыртышников, задачи.

[iou]

kirill94 в сообщении #1311967 писал(а):

Ну очевидные случаи $n = 1$ - при $a \ne 0$, при $n = 2$ - для любого $a$ линейно независимы.

Отсюда ведь можно индукцией продолжить. Пусть $a \ne 0$ и вектор-столбцы матрицы $n \times n$ линейно зависимы, тогда напишем нетривиальную линейную зависимость и заметим, что среди первых $n-1$ векторов не все коэффициенты нулевые.
Что касается случая $a=0$, заметим, например, что если $n \equiv 1 \mod 2$, то суммируя вектор-столбцы с нечётными номерами, мы получим нулевой вектор. Действительно; в $i-$ую компоненту суммы, если $1 < i <n$, нетривиальный вклад дают только $A_{i-1}$ и $A_{i+1}.$
Если же $n \equiv 0 \mod 2$ и у нас есть нулевая линейная комбинация, то равенство нулю коэффициента при векторе с номером $2k$ влечёт равенство нулю коэффициента при векторе с номером $2(k+1)$, но при этом при втором векторе коэффициент должен быть нулём. Аналогично раскрутим в обратную сторону, начиная с предпоследнего.

-- 13.05.2018, 04:35 --

kirill94 в сообщении #1311990 писал(а):

При $n = 4$ видимо надо привести пример, что это не так?

Можно взять что-то типа:

$$A_1 = (1, -1, -3, -1, -1), ~A_2=(-1, 1, -1, -3, -1), ~ A_3 = (-3, -1, 1, -1, -1), ~ A_4 =(-1, -3, -1, 1, -1).$$

Это вектор-столбцы, а сумму просто знакочередующуюся.

(Оффтоп)

В виде матрицы это, конечно, получше смотрится, но я не постиг этого искусства.

[Lia]

iou
Постигните, пожалуйста.
«Краткий FAQ по тегу [math]» к Вашим услугам. Как будет готово, напишите сюда topic18759.html