Тыртышников, задачи.

[kirill94]

По ходу текста в учебнике Тыртышникова по линалгу встречаются всякие нетривиальные задачи, которых я не нашёл ни в Проскурякове, ни в Кострикине (несколько искал). Есть ли где-то в природе ответы (а в идеале решения) к данным задачам? Если нет - буду потихоньку кидать в эту тему свои соображения-решения. К некоторым я пока что даже не знаю, как подступиться; для некоторых нашёл решение, но думаю, что подразумевалось что-то более адекватное.

Пожалуй, начну пока что. Формат номера задачи: X.Y.Z, где Х - номер лекции, Y - раздел лекции, Z - номер самой задачи.

2.8.1
Пусть $G$ - группа с единицей $e$. Тогда из условия $a^2 = e \forall a \in G$ следует, что $G$ коммутативна.

(Оффтоп)

$e = (ab)^2 = abab$, но тогда умножим справа равенство на $b$ и учтем, что $b^2 = e$, получим $b = aba$. Остается ещё раз справа умножить равенство уже на $a$ и получить $ba = ab$ для произвольных $a, b \in G$

[kirill94]

2.8.1
Матрица $A$ порядка $n$ коммутирует со всеми матрицами порядка $n$ : $AB = BA$ для всех матриц $B$ порядка $n$ . Докажите, что $A$ — диагональная матрица с равными элементами на диагонали.

(Оффтоп)

Введём матричные единицы $E_{ij}$ - матрица размера $n \times n$ такая, что единственный её ненулевой элемент - это единица в $i$-той строке и $j$-том столбце. Тогда $E_{ii}A = AE_{ii}$ по условию, откуда следует, что $a_{ij} = 0$ при $i \ne j$, то есть матрица $A$ - диагональная.

UPD: по совету AV_77 добавляю последнюю часть решения. Заметим, что $E_{ij} E_{kl} = 0$ при $j \ne k$ и $E_{il}$ при $j = k$. Мы уже выяснили, что матрица диагональна, то есть представляется в виде $\sum \lambda_k E_{kk}$. Домножая справа на $E_{ij}$, получим матрицу $\lambda_i E_{ij}$; если же домножать слева, то получим матрицу $\lambda_j E_{ij}$, поскольку матрицы равны по условию, получаем $\lambda_i = \lambda_j$

[AV_77]

Это, можно сказать, "классические" задачи. Смотрите сборник задач по алгебре под редакцией Кострикина. Задачи 55.16, 17.14-17.18 и указания к решению.

[kirill94]

AV_77
Благодарю за указание на задачи, добавил часть решения к 2.8.1

2.12.1
Найти все подгруппы $\mathbb{Z}$ относительно операции сложения.

(Оффтоп)

Группа $(\mathbb{Z}, +) = <1>$ - циклическая, любая её подгруппа имеет вид $<k>$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$

-- 13.05.2018, 00:17 --

3.4.1
Для каждого $n$ найдите все значения параметра $a$ , при которых столбцы трехдиагональной матрицы

$$ \begin{bmatrix} a & 1 & &\\ -1 & a & 1 & \\ & & \ldots &\\ & & -1 & a\\ \end{bmatrix}$$

порядка $n$ линейно независимы.

(Оффтоп)

Ну очевидные случаи $n = 1$ - при $a \ne 0$, при $n = 2$ - для любого $a$ линейно независимы. Для общего случая "затык". Из "интересного" - вывел реккурентную формулу для определителя, оказалось даже, что при $a = 1$ к примеру это числа Фибоначчи. Тем не менее, формально ещё определителя не было, и я не знаю, как тут можно сразу "понять", каков ранг, без уймы вычислений в "общем виде". Возможно, есть какой-то интересный факт про тридиагональные матрицы, я с ними особо не работал никогда.

[kirill94]

3.4.2
Матрица размеров $(n + 1 ) \times n$ имеет элементы $a_{ij} > 0$ при $i = j$ и $a_{ij} < 0$ при $i \ne j$ . Докажите, что при $n = 3$ ее столбцы
линейно независимы. Верно ли это при $n = 4$?

(Оффтоп)

Для $n = 3$ я не придумал ничего интеллектуальнее, чем честно расписать матрицу и посмотреть, что будет, если предположить, что столбцы линейно зависимы:

$$ \begin{bmatrix} [a_1] & [a_2] & [a_3] \\ \end{bmatrix} $$

за $[a]$ обозначен вектор-столбец длины 4. Если есть линейная зависимость типа $\sum \lambda_i [a_i]$, то рассмотрим подробнее знаки наших $\lambda_i$. Возможно 8 случаев знаков (считаем все ненулевыми), каждый из которых отбрасывается далее:
$(+ + +)$ - такого быть не может, поскольку тогда четвертая координата даст сплошные минусы, и при суммировании нуль никак не получится.
$( + + -)$ - такого быть не может, поскольку сумма третьих координат даст сплошные минусы, и при суммировании нуль никак не получится. В силу симметрии отбрасываем также $(- + +)$ и $(+ - +)$. Аналогично рассматриваются два и три минуса - только на этот раз суммы будут положительны, и не смогут дать нуль.
Также в принципе понятно, что если ослабить предположение (не все $\lambda_i$ не равны 0) - тоже самое получится, поскольку равна нулю может быть только одна из $\lambda_i$. Итого получаем линейную независимость при $n = 3$.

При $n = 4$ видимо надо привести пример, что это не так?

[deep blue]

3.4.1 Помню тоже возился с этой задачей (и с остальными тоже), нагородил детерминанты. Теперь вот придумалось простое решение.
Сначала нужно показать, что необходимое условие вырожденности матрицы это $a=0$.
Доказывается по индукции. База при $n=1$ очевидна. Далее предположим утверждение верно для всех n<m. Добавляем сверху строку $(a,1,0,0,...)$ и слева столбец $(a,-1,0,0,...)$ Пытаемся разложить левый столбец в линейную комбинацию остальных(рассматриваем только первые две строки) и становится ясно, что при $a\ne 0$ это невозможно. Что и требовалось доказать. А дальше, зная что а=0 легко решить задачу.

3.4.2
Решал примерно также. Эта задача из серии трудовых и тупых, такие тоже нужны.

Кстати все эти задачи и дополнения к ним выложены в виде контрольных работ на сайте http://www.inm.ras.ru/vtm/lection.htm

[g______d]

В 3.4.1 это матрица вида $B+aI$, где $B$ антиэрмитова. Поэтому она может быть вырожденной только при чисто мнимых $a$. При $a=0$ легко проверить, что невырождена (даже в уме, просто решая уравнение $Bv=0$). А вот чисто мнимые ненулевые $a$, конечно, бывают.

[deep blue]

g______d
При a=0 она тоже может быть вырожденной, например при n=3

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 &\\ -1 & 0 & 1 & \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

В начальных главах все матрицы у Тартышникова вроде бы над $\mathBB{R}$

[g______d]

deep blue в сообщении #1312248 писал(а):

При a=0 она тоже может быть вырожденной

Чёрт, так и знал, что обсчитаюсь. Но по-моему начиная с размерности 4 и выше такого уже не будет.

[nya]

при чётных невырождена, потому-что несколько симплектических клеткок, при нечётных вырождена

-- 14.05.2018, 05:40 --

kirill94 в сообщении #1311948 писал(а):

2.8.1
Матрица $A$ порядка $n$ коммутирует со всеми матрицами порядка $n$ : $AB = BA$ для всех матриц $B$ порядка $n$ . Докажите, что $A$ — диагональная матрица с равными элементами на диагонали.

центр - морита-эквивалентная конструкция, а алгебра матриц морита-эквивалентна основному полю

[g______d]

Да, зря я после первой ошибки продолжил в уме считать.

[deep blue]

В 3.4.1 как уже заметили могут подходить еще мнимые числа если их разрешить. Это в принципе тоже следует из моего доказательства. Но подходит ли что-нибудь кроме $a=i$?

[nya]

ещё $-i$

[deep blue]

Итак, если разрешаем комплексные числа, то добавляются еще решения уравнения $a^2=-1$ а это a=i и a=-i. При каких n пусть найдет ТС.

[g______d]

nya в сообщении #1312255 писал(а):

ещё $-i$

deep blue в сообщении #1312256 писал(а):

Итак, если разрешаем комплексные числа, то добавляются еще решения уравнения $a^2=-1$ а это a=i и a=-i. При каких n пусть найдет ТС.

Там будет много собственных чисел. В пределе $n\to \infty$ они будут плотно заполнять отрезок $[-2i,2i]$. Их можно найти так: посмотреть на матрицу

$$ \begin{pmatrix}a&1\\1&0\end{pmatrix}^n $$

и найти, при каких $a$ у неё левый верхний элемент равен нулю.