Конформное отображение

[MChagall]

$\left\lbrace a_n\right\rbrace$ - последовательность.$\sum\limits_{n=2}^{\infty}n\left\lvert a_n\right\rvert<1$.
$f(z)=z+\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_nz^n$.
Показать, что $f(z)$ конформно отображает единичный круг $D$ на некоторую область.

По принципу сохранения области $f(z)$ отображает единичный круг $D$ на некоторую область $G$.
Надо показать, что данное отображение конформно.
Найдём $f'(z)=1+\sum\limits_{n=2}^{\infty}na_nz^{n-1}$. Но так как в круге $\left\lvert z\right\rvert<1$, то $\left\lvert \sum\limits_{n=2}^{\infty}na_nz^{n-1}\right\rvert\leqslant \sum\limits_{n=2}^{\infty}n\left\lvert a_n\right\rvert \left\lvert z^{n-1}\right\rvert<1$. Значит, $f'(z)$$\ne 0$. Следовательно, $f(z)$ - локально конформно. Верно это рассуждение?

Если да, то осталось проверить глобальную конформность. И вот здесь не знаю как это сделать?
Пусть $f(z_1)=f(z_2)$. Тогда $z_1-z_2=\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n(z^n_2-z^n_1)$. Но дальше что?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1311925 писал(а):

Верно это рассуждение?

Верно. И даже более того: Вы получили оценку производной разности $f(z) -z =g(z)$. А тогда можно и оценить - по формуле конечных приращений - и разность $g(z_1) - g(z_2)$

(Оффтоп)

Полученное утверждение об инъективности отображения "тождественное плюс добавок с малой производной" полезно запомнить на будущее - оно часто встречается

[RIP]

(или так)

MChagall в сообщении #1311925 писал(а):

Пусть $f(z_1)=f(z_2)$. Тогда $z_1-z_2=\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n(z^n_2-z^n_1)$. Но дальше что?

Если $z_1\ne z_2$, то можно равенство поделить на $z_2-z_1$.

[MChagall]

DeBill в сообщении #1311949 писал(а):

А тогда можно и оценить - по формуле конечных приращений - и разность $g(z_1) - g(z_2)$

$\left\lvert g'(z)\right\rvert<1$
В комплексном анализе теорема Лагранжа звучит так: ?
$\frac{\left\lvert g(z_1)-g(z_2)\right\rvert}{\left\lvert z_1-z_2\right\rvert}=\left\lvert g(z_0)\right\rvert<1$, где $z_0$ - некоторая точка круга.
Верно это?
Если верно, то при $f(z_1)=f(z_2)$ получается $\left\lvert g(z_1) - g(z_2)\right\rvert=\left\lvert z_1-z_2\right\rvert$
и $\frac{\left\lvert g(z_1)-g(z_2)\right\rvert}{\left\lvert z_1-z_2\right\rvert}=1<1$. Следовательно однолистность и вкупе с ненулевой производной - конформность.
Где я лгу?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1311999 писал(а):

В комплексном анализе теорема Лагранжа звучит так: ?

Нет: к сожалению, равенство, вообще говоря, не имеет место (посмотрите пример: экспонента на отрезке $[0,2\pi]$). Формула звучит так: модуль приращения не превышает длины отрезка, умноженной на максимум модуля производной (в точках отрезка). Но этого также должно хватить...

-- 13.05.2018, 20:34 --

Остальное - верно.