В учебнике есть такая задача. Пусть

где

связные пространства.

по условию несвязно и распадается на открытые

и

т. е.

Надо доказать, что

и

связны.
После нескольких неудачных попыток, я, наконец, построил доказательство, но оно такое, что не все математики его примут. Идея этого доказательства заключается в том, чтобы разделить

и

на связные компоненты, и потом работать уже с этими компонентами. Легко показать, например, что существует точка

рассматриваем компоненту

содержащую

её объединение с

даст связное пространство. Далее продолжаем этот процесс, пока не покажем, что

связно. Аналогично поступаем с
Как можно построить нормальное доказательство?
И еще доп. вопрос. Рука хотела выделить словосочетание "по условию" (см. первый абзац) запятыми с двух сторон, а также раздельно написать частицу "не" в слове "несвязно", но я остановил её. Правильно ли это? Или в предложении есть место свободе авторской пунктуации?