2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Била
Сообщение11.05.2018, 18:16 


27/04/18
40
Определение: Если $A^x + B^y = C^z$, где $A,B,C,x,y,z$ $\in$ $ \mathbb{N}$, $x,y,z > 2$ то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Решение:
1. Великая теорема Ферма доказана, следовательно задача Била не имеет решений при $x = y= z = 3$, следовательно как минимум один из степенных коэффициентов должен быть равен как минимум $4$.

2. Допустим, что существует контрпример к задаче в котором $A,B,C$ не имеют общего делителя отличного от $1$.

3. Запишем уравнение-контрпример в виде диофантова уравнения $n \cdot A^2 + m \cdot B^2 - k \cdot C^2 = 0$ где $n = A^{x-2}$, $m = B^{y-2}$, $k = C^{z-2}$ и как минимум один из коэффициентов $n,m,k$ не является свободным от квадратов числом, так как четвёртая степень и более делится на вторую степень нацело.

4. По теореме Лежандра контрпример будет иметь решение в целых и попарно взаимно простых числах $A,B,C$ только в том случае, если каждый из коэффициентов $n,m,k$ свободен от квадратов. Противоречие. Следовательно, контрпримера не существует.

Вывод: А,В,С имеют общий делитель, отличный от $1$. Задача решена.

Прошу критиковать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Била
Сообщение11.05.2018, 18:37 


21/05/16
3072
Аделаида
В теореме Лежандра n, m и k константы, у вас - переменные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Била
Сообщение11.05.2018, 18:38 


20/04/10
553
Русь
Вы неправильно трактуете теорему Лежандра, в ней совсем другое необходимое и достаточное требование существования решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Била
Сообщение11.05.2018, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3853
Москва
EvgenyNechaev в сообщении #1311738 писал(а):
По теореме Лежандра
контрпример будет иметь решение в целых и попарно взаимно простых числах $A,B,C$ только в том случае, если каждый из коэффициентов $n,m,k$ свободен от квадратов.
Там плохо сформулировано: уравнение $4 A^2 + 4 B^2 - 4 C^2 = 0$ имеет например решение $A = 3, B = 4, C = 5$.
Правильная формулировка такая: пусть числа $n, m, k$ свободны от квадратов и взаимно просты. Тогда уравнение $nA^2 + mB^2 - kC^2 = 0$ имеет нетривиальное решение в целых числах тогда и только тогда, когда $-nm, -nk, -mk$ являются квадратичными вычетами по модулям $k, m, n$ соответственно.

kotenok gav в сообщении #1311747 писал(а):
В теореме Лежандра n, m и k константы, у вас - переменные.
В теореме Лежандра n, m и k константы, у вас - переменные.
Тут из решения уравнения Билла изготавливается решение уравнения Лежандра, в этой части всё честно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Била
Сообщение11.05.2018, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17193
Москва

(EvgenyNechaev)

EvgenyNechaev в сообщении #1311738 писал(а):
Определение: Если $A^x + B^y = C^z$, где $A,B,C,x,y,z$ $\in$ $ \mathbb{N}$, $x,y,z > 2$ то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.
Не вижу здесь определения. Определение имеет вид, похожий на "Крякозяброй называется кукубякистый опережник". И никаких доказательств у определения не бывает. А то, что Вы написали, сильно смахивает на какую-то теорему.
Или Вы разницы не понимаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Била
Сообщение11.05.2018, 21:12 


27/04/18
40
mihaild в сообщении #1311751 писал(а):
EvgenyNechaev в сообщении #1311738 писал(а):
По теореме Лежандра
контрпример будет иметь решение в целых и попарно взаимно простых числах $A,B,C$ только в том случае, если каждый из коэффициентов $n,m,k$ свободен от квадратов.
Там плохо сформулировано: уравнение $4 A^2 + 4 B^2 - 4 C^2 = 0$ имеет например решение $A = 3, B = 4, C = 5$.
Правильная формулировка такая: пусть числа $n, m, k$ свободны от квадратов и взаимно просты. Тогда уравнение $nA^2 + mB^2 - kC^2 = 0$ имеет нетривиальное решение в целых числах тогда и только тогда, когда $-nm, -nk, -mk$ являются квадратичными вычетами по модулям $k, m, n$ соответственно.

Спасибо, разобрался.

Тему наверно удалить можно, чтобы не захламляла форум.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group