Задача Била

[EvgenyNechaev]

Определение: Если $A^x + B^y = C^z$, где $A,B,C,x,y,z$ $\in$ $ \mathbb{N}$, $x,y,z > 2$ то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Решение:
1. Великая теорема Ферма доказана, следовательно задача Била не имеет решений при $x = y= z = 3$, следовательно как минимум один из степенных коэффициентов должен быть равен как минимум $4$.

2. Допустим, что существует контрпример к задаче в котором $A,B,C$ не имеют общего делителя отличного от $1$.

3. Запишем уравнение-контрпример в виде диофантова уравнения $n \cdot A^2 + m \cdot B^2 - k \cdot C^2 = 0$ где $n = A^{x-2}$, $m = B^{y-2}$, $k = C^{z-2}$ и как минимум один из коэффициентов $n,m,k$ не является свободным от квадратов числом, так как четвёртая степень и более делится на вторую степень нацело.

4. По теореме Лежандра контрпример будет иметь решение в целых и попарно взаимно простых числах $A,B,C$ только в том случае, если каждый из коэффициентов $n,m,k$ свободен от квадратов. Противоречие. Следовательно, контрпримера не существует.

Вывод: А,В,С имеют общий делитель, отличный от $1$. Задача решена.

Прошу критиковать.

[kotenok gav]

В теореме Лежандра n, m и k константы, у вас - переменные.

[lel0lel]

Вы неправильно трактуете теорему Лежандра, в ней совсем другое необходимое и достаточное требование существования решения.

[mihaild]

EvgenyNechaev в сообщении #1311738 писал(а):

По теореме Лежандра
контрпример будет иметь решение в целых и попарно взаимно простых числах $A,B,C$ только в том случае, если каждый из коэффициентов $n,m,k$ свободен от квадратов.

Там плохо сформулировано: уравнение $4 A^2 + 4 B^2 - 4 C^2 = 0$ имеет например решение $A = 3, B = 4, C = 5$.
Правильная формулировка такая: пусть числа $n, m, k$ свободны от квадратов и взаимно просты. Тогда уравнение $nA^2 + mB^2 - kC^2 = 0$ имеет нетривиальное решение в целых числах тогда и только тогда, когда $-nm, -nk, -mk$ являются квадратичными вычетами по модулям $k, m, n$ соответственно.

kotenok gav в сообщении #1311747 писал(а):

В теореме Лежандра n, m и k константы, у вас - переменные.
В теореме Лежандра n, m и k константы, у вас - переменные.

Тут из решения уравнения Билла изготавливается решение уравнения Лежандра, в этой части всё честно.

[Someone]

(EvgenyNechaev)

EvgenyNechaev в сообщении #1311738 писал(а):

Определение: Если $A^x + B^y = C^z$, где $A,B,C,x,y,z$ $\in$ $ \mathbb{N}$, $x,y,z > 2$ то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Не вижу здесь определения. Определение имеет вид, похожий на "Крякозяброй называется кукубякистый опережник". И никаких доказательств у определения не бывает. А то, что Вы написали, сильно смахивает на какую-то теорему.
Или Вы разницы не понимаете?

[EvgenyNechaev]

mihaild в сообщении #1311751 писал(а):

EvgenyNechaev в сообщении #1311738 писал(а):

По теореме Лежандра
контрпример будет иметь решение в целых и попарно взаимно простых числах $A,B,C$ только в том случае, если каждый из коэффициентов $n,m,k$ свободен от квадратов.

Там плохо сформулировано: уравнение $4 A^2 + 4 B^2 - 4 C^2 = 0$ имеет например решение $A = 3, B = 4, C = 5$.
Правильная формулировка такая: пусть числа $n, m, k$ свободны от квадратов и взаимно просты. Тогда уравнение $nA^2 + mB^2 - kC^2 = 0$ имеет нетривиальное решение в целых числах тогда и только тогда, когда $-nm, -nk, -mk$ являются квадратичными вычетами по модулям $k, m, n$ соответственно.

Спасибо, разобрался.

Тему наверно удалить можно, чтобы не захламляла форум.