Мощность множества всех сходящихся рядов

[Ktina]

Докажите, что мощность множества всех сходящихся рядов, членами которых являются вещественные числа, равна мощности континуума.

Я попробую набросать эскиз идеи решения. Для каждого положительного вещественного $r$ ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\dfrac{r}{2^n}}$$

сходится. Следовательно, таких рядов как минимум континуум.

С другой стороны, сходящихся рядов вещественных чисел не больше, чем функций

$$f\colon N\to R$$

, а значит, не больше континуума.

Пожалуйста, помогите привести всё выше написанное в более или менее человеческий вид.

[Qlin]

Ktina в сообщении #1311156 писал(а):

функций

$$f\colon N\to R$$

Ktina в сообщении #1311156 писал(а):

не больше континуума.

Вы хотите использовать это как готовый доказанный факт?

[Ktina]

Qlin в сообщении #1311167 писал(а):

Вы хотите использовать это как готовый доказанный факт?

Могу попытаться доказать.

$$|\mathbb{N}\to\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^{\matnbb{N}}|=\aleph^{\aleph_0}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph$$

Как-то так?

[thething]

А если на теорему Римана об условно сходящихся рядах сослаться?

[Ktina]

thething в сообщении #1311207 писал(а):

А если на теорему Римана об условно сходящихся рядах сослаться?

Благодаря Вам мне только что стало известно об этой теореме, за это Вам спасибо. Каким именно образом Вы предлагаете на неё сослаться?

[thething]

Ну если из условно сходящегося ряда можно путем перестановок членов получить ряд, сходящийся к любому действительному числу, то не будет ли число сходящихся рядов как минимум не меньше количества действительных чисел?

-- 09.05.2018, 18:39 --

Хотя это у Вас уже итак есть..

[eugensk]

Ряды это те же последовательности.
Вещественных последовательностей (сходящихся и расходящихся вместе) - столько же сколько вещественных чисел (Шень, Верещагин Начала теории множеств. Задача 43) Значит, одних сходящихся не больше чем вещественных чисел. Но и не меньше, для любого числа есть последовательность, сходящаяся к нему.

Осталось решить задачу 43, но я не могу сообразить как, надо читать.

[Ktina]

eugensk в сообщении #1311315 писал(а):

(Шень, Верещагин Начала теории множеств. Задача 43)

А книга эта в свободном доступе есть?

[eugensk]

Ktina в сообщении #1311350 писал(а):

eugensk в сообщении #1311315 писал(а):

(Шень, Верещагин Начала теории множеств. Задача 43)

А книга эта в свободном доступе есть?

Да, ссылка для скачивания здесь https://www.mccme.ru/free-books/
или сразу https://www.mccme.ru/free-books/shen/sh ... art1-2.pdf

Ktina в сообщении #1311200 писал(а):

Могу попытаться доказать.

$$|\mathbb{N}\to\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^{\matnbb{N}}|=\aleph^{\aleph_0}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph$$

Как-то так?

Это, видимо, будет решением задачи 43, если для каждого равества указать биекцию.

[Ktina]

eugensk в сообщении #1311351 писал(а):

Да, ссылка для скачивания здесь https://www.mccme.ru/free-books/
или сразу https://www.mccme.ru/free-books/shen/sh ... art1-2.pdf

Большое спасибо!