Множества меры нуль

[Mr_Spock]

Всем привет. Встретил такую задачу:

Задано множество Е:

$$E=\left\lbrace{\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_k}{k!}}|\varepsilon_k=0 or 1\right\rbrace$$

Нужно доказать, что множество E имеет меру 0.

Я понимаю, что нужно придумать какое-то покрыте со сколь угодно малой площадью, но как это применить конкретно к этому множеству я не знаю.

[mihaild]

Какое-нибудь покрытие, постаравшись сделать его поменьше, можете придумать?

[Zeekless]

Для такого товарища можете придумать что-то меньшее, чем для исходного?

\[ E_N = \Biggl\{\sum_{k=N}^{\infty}\frac{\varepsilon_k}{k!}\Bigm|\varepsilon_k\in\{0,1\}\Biggr\} \]

[Mr_Spock]

Возможно я не до конца понимаю, как эти ряды работают, но по-моему в любой окрестности одого ряда будет лежать другой ряд, отличный от первого в неком малом слагаемом. И как взять покрытие с как угодно малой длиной.

[mihaild]

Непонятно, что у вас за окрестности у рядов, но неважно.
Оцените снизу и сверху сумму ряда, указанного Zeekless, и придумайте как покрыть все возможные значения суммы не очень большим множеством.

[Mr_Spock]

$$ 0\leqslant\left\lbrace{\sum\limits_{k=N}^{\infty}\frac{\varepsilon_k}{k!}}|\varepsilon_k \in\left\lbrace0,1\right\rbrace \right\rbrace\leqslant e - \sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k!} $$

Вот ограничение. А про не очень большое множество я не догадываюсь

[mihaild]

А как-то попроще можно верхнюю границу записать? Чему равен остаточный член ряда для экспоненты?

[Mr_Spock]

Тогда справа такое выражение:

$$\frac{e^\theta}{(n+1)!}$$

[mihaild]

А $\theta$ - это что?

Ну вот оценили сверху сумму рядов Zeekless. Как теперь покрыть все возможные значения их сумм не слишком длинным отрезком?
Сколько таких отрезков нам понадобится, чтобы покрыть все возможные значения суммы исходного ряда?

[Mr_Spock]

У нас получается $2^N$ отрезков длины $\frac{e}{(N+1)!}$

[mihaild]

Mr_Spock в сообщении #1310854 писал(а):

У нас получается $2^N$ отрезков длины $\frac{e}{(N+1)!}$

А куда делся показатель степени у $e$? (числитель действительно ограничен, чем именно - неважно, но нужно показать, что он ограничен)
По модулю этого - правильно. Какая получается суммарная мера этих интервалов? Как она себя ведет с ростом $N$?

[Mr_Spock]

получается она стремится к 0, а у е там должна быть не 1 степень?

[Zeekless]

Mr_Spock в сообщении #1310843 писал(а):

Возможно я не до конца понимаю, как эти ряды работают, но по-моему в любой окрестности одого ряда будет лежать другой ряд, отличный от первого в неком малом слагаемом. И как взять покрытие с как угодно малой длиной.

Рациональные числа тоже найдутся в любом открытом интервале. И всё-таки имеют меру нуль.
Кстати, чтобы верхняя граница исходного множества была равна $e$, суммировать нужно от $k=0$.

[Mr_Spock]

Спасибо за помощь