Задача на док-во по планиметрии.

[bitcoin]

Помогите, пожалуйста, разобраться.
Доказать, что точки $I,M,D$ лежат на одной прямой, если $I$ - центр вписанной окружности $\Delta ABC$, а $M$ точка касания вневписанной, а $AH$ - высота, причем $AD:DH=1:1$



Я понимаю, что достаточно доказать, что $M,F,A$ лежат на одной прямой. Но как? Точка $F$ образовалась, как второе пересечение прямой $KI$, но вот как доказать, что они лежат на одной прямой? Пытался от противного, но не пришел к противоречию, Менелай тоже не помог... Как быть? Подскажит, плз, с чего начать?

[arseniiv]

bitcoin в сообщении #1310432 писал(а):

Я понимаю, что достаточно доказать, что $M,F,A$ лежат на одной прямой. Но как?

$Q,I,A$ лежат на одной. А то, что большая окружность вневписанная — факт не столь интересный. Главное, что в $M$ касательная параллельна касательной к маленькой окружности в $F$.

[bitcoin]

arseniiv в сообщении #1310435 писал(а):

$Q,I,A$ лежат на одной

Спасибо.
Это я понимаю, эти точки равноудалены от сторон угла, потому лежат на биссектрисе. А по поводу касательной согласен, это из-за того, что общий перпендикуляр (касательная перпендикулярна радиусу), но к чему это, это как-то поможет?

[arseniiv]

Ну, получаются подобные конструкции — можно гомотетией с центром в $A$ перевести $M,Q$ в $F,I$. Иначе говоря, $\triangle AMQ\sim\triangle AFI$.

[Munin]

bitcoin в сообщении #1310432 писал(а):

Я понимаю, что достаточно доказать, что $M,F,A$ лежат на одной прямой. Но как?

А я наоборот, понимаю, почему $M,F,A$ лежат на одной прямой, но не понимаю, что из этого дальше следует :-) Щас ещё повтыкаю, может быть, пойму.

-- 06.05.2018 17:21:05 --

bitcoin в сообщении #1310432 писал(а):

Я понимаю, что достаточно доказать, что $M,F,A$ лежат на одной прямой. Но как?

Постричь макушку мечом.

[bitcoin]

Спасибо, да, согласен, что достаточно доказать подобие данных треугольников. Скорее всего признак подобия: по 2 пропорциональным сторонам и углу между ними. Углы $\angle I$ и $\angle Q$ в данных треугольниках равны как соотв при параллелельных прямых. Далее нужно доказать соотношение $\dfrac{R}{r}=\dfrac{AQ}{AI}$, а оно следует из двух других подобных треугольников. Спасибо, разобрался

-- 06.05.2018, 17:28 --

Munin в сообщении #1310445 писал(а):

А я наоборот, понимаю, почему $M,F,A$ лежат на одной прямой, но не понимаю, что из этого дальше следует Щас ещё повтыкаю, может быть, пойму.

Дык, через подобие доказывается, что прямая, проходящая через точки $M,I$ непременно разделит высоту $AH$ пополам)

-- 06.05.2018, 17:29 --

Munin в сообщении #1310445 писал(а):

Постричь макушку мечом.

не поможет=)

[Munin]

bitcoin в сообщении #1310447 писал(а):

Дык, через подобие доказывается

Да, я уже понял.

bitcoin в сообщении #1310447 писал(а):

:mrgreen: не поможет=)

Поможет, да ещё как!

Осталось вам найти на рисунке макушку, и провести меч.

[bitcoin]

Munin в сообщении #1310453 писал(а):

Осталось вам найти на рисунке макушку, и провести меч.

Я думал, что Вы советуете по моей макушке нужно пройтись мечом, потому как написал безнадежную ахинею))

[OlegCh]

Из прошедшего Всероса?