Вычислить интеграл или хотя бы доказать его конечность

[ellipse]

Как вычислить интеграл или хотя бы доказать его конечность при любом $n$?

$$\int\limits_{\mathbb{R}^n}|x|\exp(-|x|^2)dx $$

При $n=1$ интеграл равен 1, при $n=2$ переходим к полярным координатам и получаем $2\pi$. Как быть в общем случае?

[Otta]

Так же. $n$-мерная сферическая замена. С вычислением придется попыхтеть, вопрос сходимости очевиден.

[ellipse]

Otta в сообщении #1310141 писал(а):

вопрос сходимости очевиден.

Почему очевиден?

[arseniiv]

Ну там гамма от хорошего аргумента вылезает, когда от углов избавитесь. Если устраивает рукомахательное объяснение.

[ellipse]

arseniiv в сообщении #1310149 писал(а):

Ну там гамма от хорошего аргумента вылезает, когда от углов избавитесь. Если устраивает рукомахательное объяснение.

Думал, мажоранта какая-то есть. Для меня главное доказать конечность, вычислять не хочется.

[mihaild]

Ну оцените как-нибудь интеграл по слою $k \leqslant \|x\| \leqslant k + 1$. Тут даже самой грубой оценки вида "максимум подинтегральной функции" $\cdot$ "объем" хватит за глаза.

[alcoholist]

ellipse
Вам дело mihaild предлагает:

$$\int\limits_{\mathbb{R}^n}|x|\exp(-|x|^2)dx =\sum_{k=0}^{+\infty}\int\limits_{k\le|x|\le k+1}|x|\exp(-|x|^2)dx<\sum_{k=0}^{+\infty}e^{-k^2}\int\limits_{k\le|x|\le k+1}|x|dx$$

[ellipse]

А так правильно?

$$ \int\limits_{\mathbb{R}^n}|x|\exp(-|x|^2)dx = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp(\ln|x|-|x|^2)dx \le \int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}|x|^2\right)dx = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-|\xi|^2\right)(\sqrt{2})^nd\xi =(\sqrt{2}\pi)^n $$

[ewert]

ellipse в сообщении #1310143 писал(а):

Otta в сообщении #1310141 писал(а):

вопрос сходимости очевиден.

Почему очевиден?

Потому что первый сомножитель есть радиальная переменная, площадь сферы зависит от этой же переменной степенным образом, а экспонента на бесконечности забьёт любую степень.

[alcoholist]

ellipse в сообщении #1310222 писал(а):

А так правильно?

можно и так, только покажите, что $|x|<e^{|x|^2/2}$