Унитарные преобразования сохраняют суммы векторов

[YuryS]

Добрый день !

В книге N. Mermin'а "Quantum Computer Science"
(http://www.dphu.org/uploads/attachement ... 3092_0.pdf)
в Приложении A

(линейные) унитарные преобразования (над векторами комплексных чисел) определяются
как преобразования, которые сохраняют единичные вектора, т.е., длину векторов,
у которых длина равна 1.
Из этого определения, с использованием свойства линейности, выводится факт,
что унитарные преобразования сохраняют длину произвольных векторов.

После этого, делается утверждение, что

унитарные преобразования сохраняют сумму векторов, т.е.

|| A + B || = || U ( A + B ) ||,

где A,B - вектора, а U - унитарное преобразование.

Как доказать это на основе данного определения?

[arseniiv]

То есть всё-таки норму суммы. А норму они сохраняют у любых векторов, как вы выше писали, в том числе и у произвольных сумм.

[alcoholist]

выражение

YuryS в сообщении #1309954 писал(а):

|| A + B || = || U ( A + B ) ||

ничем не отличается от выражения $\|UA\|=\|A\|$

-- Пт май 04, 2018 15:47:48 --

YuryS
норма:

\|A\|

[YuryS]

Да, прошу прощения, что задал глупый вопрос, на который есть тривиальный ответ.
Меня ввела в заблуждение неправильно понятая фраза из вышеупомянутой книги (стр. 161):
" ... for two general vectors \lvert\varphi\rangle and \lvert\psi\rangle [unitary transformation] U preserves the magnitudes of both of them, as well as the magnitudes of the vectors
\lvert\varphi\rangle + \lvert\psi\rangle and \lvert\varphi\rangle + i \lvert\psi\rangle."

Настоящий же мой вопрос является следующим:

если мы определяем унитарное преобразование как линейное преобразование,
которое сохраняет длину единичных (а, следовательно, и произвольных ) векторов,
то как доказать, что унитарное преобразование сохраняет внутренние произведения,
т.е., что (A,B) = (UA,UB), где A,B есть вектора комплексных чисел
одинаковой длины, а внутреннее произведение определяется как

(A,B) = \sum\limits_{i=1}^{n}a_i^*b_i, где * - операция комплексного сопряжения.

[mihaild]

YuryS в сообщении #1310731 писал(а):

сохраняет длину единичных

Это известно только для векторов с вещественными координатами, или с комплексными тоже?
В любом случае, нужно выразить скалярное произведение через длину, и в первом случае - еще выразить внутреннее произведение векторов с комплексными координатами через скалярное произведение векторов с вещственными (воспользовавшись тем, что любой вектор $x$ представим в виде $a + ib$, где координаты $a$ и $b$ вещественны).

[ewert]

YuryS в сообщении #1310731 писал(а):

как доказать, что унитарное преобразование сохраняет внутренние произведения,
т.е., что (A,B) = (UA,UB), где A,B есть вектора комплексных чисел
одинаковой длины, а внутреннее произведение определяется как

(A,B) = \sum\limits_{i=1}^{n}a_i^*b_i

Неважно как определяется (кстати, звёздочка должна быть не там). Этот факт следует только из аксиом скалярного произведения и ни из чего больше. Общая причина: скалярное произведение может быть выражено через квадраты норм некоторых линейных комбинаций исходных векторов. В вещественном случае это очевидным образом получается из $\vec a\pm\vec b$. В комплексном -- чуть хитрее, но тоже легко, надо лишь добавить к этой паре ещё и пару $\vec a\pm i\vec b$.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1310740 писал(а):

кстати, звёздочка должна быть не там

Вы же знаете, что есть разные традиции. Например, у физиков.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1310749 писал(а):

Вы же знаете, что есть разные традиции. Например, у физиков.

Знаю, потому и кстати. Традиции вообще бывают странными. Скажем, марковцы зачем-то любят умножать вектор на матрицу справа, а не слева.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Так эта традиция вполне нормальная, если заметить, что физики обозначают $\langle\psi|$ ковектор, полученный опусканием индекса у вектора $|\psi\rangle$, и что они обозначают скалярное произведение $(\varphi,\psi)$ как $\langle\varphi|\psi\rangle$ (в соответствии с предыдущим выбором), и что им важнее векторы, а не ковекторы. Соответственно, им приятнее, если $\langle\varphi|\alpha\psi\rangle = \alpha\langle\varphi|\psi\rangle$, а не если $\langle\varphi|\alpha\psi\rangle = \alpha^*\langle\varphi|\psi\rangle$.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1310767 писал(а):

Так эта традиция вполне нормальная, если заметить, что физики обозначают $\langle\psi|$ ковектор, полученный опусканием индекса у вектора $|\psi\rangle$

Запросто могли бы использовать бра-кеты и наоборот, это вопрос выбора обозначений. А вот то, что у них из-за этого операторы в билинейных формах оказываются на второй позиции, выглядит неестественно. Впрочем, я с квантовой механикой не имел дела уже лет тридцать, так что нюансов не помню.

[Walker_XXI]

YuryS в сообщении #1309954 писал(а):

В книге N. Mermin'а "Quantum Computer Science"
(http://www.dphu.org/uploads/attachement ... 3092_0.pdf )
в Приложении A

(линейные) унитарные преобразования (над векторами комплексных чисел) определяются
как преобразования, которые сохраняют единичные вектора, т.е., длину векторов,
у которых длина равна 1.
Из этого определения, с использованием свойства линейности, выводится факт,
что унитарные преобразования сохраняют длину произвольных векторов.

Перешёл по ссылке, открыл Appendix A. Там всё наоборот:

Цитата:

A linear transformation that preserves the magnitudes of all vectors is called unitary, because it follows from linearity that all magnitudes will be preserved if and only if unit vectors (vectors of magnitude 1) are taken into unit vectors.

Впрочем, это не существенно. Что касается вопроса

YuryS в сообщении #1310731 писал(а):

как доказать, что унитарное преобразование сохраняет внутренние произведения, т.е., что $\mathsf{(A,B) = (UA,UB)}$, где $\mathsf{A,B}$ есть вектора комплексных чисел
одинаковой длины, а внутреннее произведение определяется как

То вот же дальше прямым текстом грубый намёк, как доказать (Вы его даже частично процитировали):

Цитата:

It also follows from linearity that if a linear transformation $\mathsf{U}$ is unitary then it must preserve not only the inner products of arbitrary vectors with themselves, but also the inner products of arbitrary pairs of vectors. This follows straightforwardly for two general vectors $\left\lvert\varphi\right\rangle$ and $\left\lvert\psi\right\rangle$ from the fact that $\mathsf{U}$ preserves the magnitudes of both of them, as well as the magnitudes of the vectors $\left\lvert\varphi\right\rangle + \left\lvert\psi\right\rangle$ and $\left\lvert\varphi\right\rangle+i\left\lvert\psi\right\rangle$

При этом неважно, как покомпонентно определяется внутреннее произведение. Выше уже писали, что это следует из его общих свойств. Ну а поскольку унитарные преобразования определяются, как сохраняющие длину любого вектора, то Вам не нужно "плясать" от единичных векторов.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1310771 писал(а):

выглядит неестественно

Естественно выглядит - дело привычки.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1310771 писал(а):

Запросто могли бы использовать бра-кеты и наоборот, это вопрос выбора обозначений.

Если бра-векторы считать векторами, тогда как раз получится умножение вектор-строки на матрицу, когда перейдём к координатам. Получается, вам не угодишь ни одним из вариантов.