Анализ выборки случайных величин

[technocrator]

Здравствуйте, попробовав применить элементы вероятностного анализа, столкнулся со следующей задачей (не знаю, входит ли в стандартный курс тервера, затруднения в применении аксиоматики)

Постановка 1. Отрезок равномерно разбит на $n$ кусков, $n \to \infty$. Выполняется некоторая случайная перестановка кусков. Проанализировать среднее выборочное расстояние, пройденное куском.

Постановка 2. Выполняется некоторое случайное отображение (автоморфизм) отрезка на себя. Проанализировать среднее расстояние, пройденное точкой отрезка.

Постановка 3. $n$ раз выбираются две случайные точки отрезка, $n \to \infty$. Проанализировать среднее выборочное расстояние между парой точек.

(третья постановка хороша тем, что исходные с. величины независимы и одинаково распределены, и точно можно применять центральную предельную теорему)

Интересует:
1) Эквивалентны ли постановки? (т. е. будет ли действительно получаться в асимптотике величина с одним и тем же распределением?) Какое обоснование (именно с формальной точки зрения) требуется для сведения первой постановки к третьей?
2) Если берём не отрезок, а квадрат или куб, по самой сути же вроде ничего не изменится?

[alcoholist]

1. Расстояние $d_k(x,\sigma,n)$, от $k$-го куска, до его образа (расстояние между интервалами бывают разные) определяется точкой $x\in T=\{0\le x_1<\ldots<x_{n-1}\le 1\}$ (разбиение отрезка) и перестановкой $\sigma\in S_n$. То есть среднее расстояние

$$ \bar{d}(n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\frac{1}{\operatorname{Vol}(T)}\int_Td_k(x,\sigma,n)d\mu(x) $$

2. А вот на пространстве автоморфизмов (не обязательно непрерывных), меры не знаю.
3. Это самая простая постановка. Нетрудно найти распределение этой величины.

Интуитивно связи не ощущается. Хотя, если она есть, это интересно.

[technocrator]

Спасибо, над формулой надо будет подумать. Насколько сложно будет вывести непосредственные результирующие значения матожидания и дисперсии?

да, автоморфизм, конечно, не обязательно непрерывный. Слово автоморфизм не знаю насколько здесь удачное, в общем, просто биекция отрезка на себя - перестановка точек

alcoholist в сообщении #1309555 писал(а):

Интуитивно связи не ощущается. Хотя, если она есть, это интересно.

Ну, в пределе вторая постановка должна получаться из первой (берём куски настолько маленькие, что они всё менее отличаются от точке). А третья должна моделировать вторую. Только вот как это строго обосновать...