Функционал в банаховом пространстве

[BlackQuarterback]

Надо доказать, что функционал $F[x] = \frac{1}{3} (x(-1) + x(1))$ является линейным и непрерывным, найти его норму.

Линейность доказывается элементарно, а вот что делать с непрерывностью? Я начал с $|F[x_2] - F[x_1]|$ и пришёл только к линейности. $\ker F$ будет состоять из нечётно симметричных функций и функций $x(-1) = x(1) = 0$, но замкнутость ядра не очень понимаю, как доказывать (как и замкнутость функционала).

Над нормой тоже думал, пришёл только к

$$||F|| = \frac{1}{3} \max_{x \in C} \frac{|x(-1) + x(1)|}{\max_{t \in [-1, 1]} |x(t)|} \leqslant \frac{1}{3}\frac{2|x(1)|}{|x(1)|} = \frac{2}{3}$$

и более чем уверен, что это неправильно.

[thething]

BlackQuarterback в сообщении #1309289 писал(а):

а вот что делать с непрерывностью?

А элементарно: ограниченность эквивалентна непрерывности, поэтому доказывайте ограниченность, что Вы ниже уже и сделали.

Ответ у Вас правильный, только вот реализация хромает. Зачем там в числителе удвоение произошло? Надо было просто разбить числитель на два модуля, потом всю дробь разбить на две, а потом оценить каждую дробь сверху единицей.

Ну и осталось подумать, на каком элементе это $\frac{2}{3}$ достигается. Это просто,можете картинку нарисовать, а потом и уравнение найдется.

-- 02.05.2018, 06:24 --

Замечание Вам: в постановке задачи не указана область определения функционала, о которой приходится только догадываться по дальнейшему изложению

[Dan B-Yallay]

Eще почему-то на третьем шаге в знаменателе стоит $|x(1)|$, которое может внезапно быть равным....
Там лучше бы норму в пространстве Цэ оставить.

[ewert]

BlackQuarterback в сообщении #1309289 писал(а):

Надо доказать, что функционал $F[x] = \frac{1}{3} (x(-1) + x(1))$ является линейным и непрерывным

-- где?...

Если в пространстве непрерывных функций (опять же -- на чём?...), то непрерывность тривиальна; правда, обосновали Вы её категорически неверно.

О достижимости нормы пока думать рано -- пока неизвестно, где те функции заданы.

[BlackQuarterback]

ewert в сообщении #1309370 писал(а):

BlackQuarterback в сообщении #1309289 писал(а):

Надо доказать, что функционал $F[x] = \frac{1}{3} (x(-1) + x(1))$ является линейным и непрерывным

-- где?...

Если в пространстве непрерывных функций (опять же -- на чём?...), то непрерывность тривиальна

Да, пространство непрерывных функций C[-1,1]. Редактировать уже нельзя, к сожалению.

[ewert]

А если на минус один-один, то и на чём достигается -- тоже тривиально.

[Mikhail_K]

BlackQuarterback
Чтобы доказать, что функционал $F:\,C[-1,1]\to\mathbb{R}$ является линейным непрерывным, нужно показать следующее:
1) Что он всюду задан (его область определения совпадает со всем пространством $C[-1,1]$), т.е. для любой функции $x$ из $C[-1,1]$ (для любой непрерывной функции на $[-1,1]$) определено значение $F(x)$. Здесь, думаю, это понятно: если $x(t)$ - непрерывная функция на $[-1,1]$, то определены её значения $x(1)$ и $x(-1)$, а с ними и $F[x]$.
2) Что он линеен. Напишите, как Вы это устанавливаете.
3) Что он ограничен - т.е. существует такая константа $C\geq 0$, что
$|F[x]|\leq C\|x\|$ для всех $x\in C[-1,1]$. (*)
В нашем примере это верно:
$|F[x]|=\frac{1}{3}|x(-1)+x(1)|\leq\frac{1}{3}(|x(-1)|+|x(1)|)\leq\frac{1}{3}(\max\limits_{t\in[-1,1]}|x(t)|+\max\limits_{t\in[-1,1]}|x(t)|)=$
$=\frac{2}{3}\max\limits_{t\in[-1,1]}|x(t)|=\frac{2}{3}\|x\|$ (**).
Эти три пункта необходимы и достаточны, чтобы функционал был линейным непрерывным.

Теперь разбираемся с нормой. Норма $\|F\|$ - это минимальная из констант $C$, для которых справедливо (*). Выше мы видели, что это утверждение справедливо с константой $C=2/3$; стало быть, минимальная из этих констант точно меньше или равна $2/3$. Итак, $\|F\|\leq 2/3$. Это Вы и установили в своём стартовом сообщении.

Теперь попробуем доказать, что $\|F\|\geq 2/3$. Если это у нас получится, то мы сможем сделать вывод, что имеет место точное равенство $\|F\|=2/3$. Чтобы это доказать, достаточно привести пример ненулевой функции $x_0\in C[-1,1]$ такой, что
$|F[x_0]|=\frac{2}{3}\|x_0\|$. (***)
Если это у нас получится, то

$$ \|F\|=\sup\limits_{x\in C[-1,1],\,x\neq 0}\frac{|F[x]|}{\|x\|}\geq \frac{|F[x_0]|}{\|x_0\|}=\frac{(2/3)\|x_0\|}{\|x_0\|}=\frac{2}{3}, $$

что нам и нужно (супремум выражения по всем ненулевым функциям $x$ больше или равен значения этого выражения с любой конкретной функцией $x_0$).

Такую ненулевую функцию $x_0\in C[-1,1]$, удовлетворяющую (***), подобрать довольно легко. Но если это вызывает трудности, заметьте, что для этой искомой функции (так же как и для любой другой функции $x\in C[-1,1]$) выполнены неравенства (**). Равенство там может получиться, только если все знаки $\leq$ на самом деле будут $=$. Вот и подумайте, что это за функция такая, для которой вместо знаков $\leq$ в рассуждениях (**) будут везде справедливы знаки равенства. На самом деле, таких функций много, но есть одна простейшая.

Замечу, что в более сложных примерах не удаётся найти функцию $x_0$, для которой выполнялось бы $|F[x_0]|=C\|x_0\|$, где $C$ - предполагаемая норма функционала. Тогда приходится подбирать последовательность функций $\{x_n\}\subset C[-1,1]$, такую чтобы это равенство выполнялось хотя бы в пределе: точнее, чтобы $\frac{|F[x_n]|}{\|x_n\|}\to C$ при $n\to\infty$.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1309438 писал(а):

$|F[x]|=\frac{1}{3}|x(-1)+x(1)|\leq\frac{1}{3}(|x(-1)|+|x(1)|)\leq\frac{1}{3}(\max\limits_{t\in[-1,1]}|x(t)|+\max\limits_{t\in[-1,1]}|x(t)|)=$

$|F[x]|=\frac{1}{3}|x(-1)+x(1)|\leqslant\frac{2}{3}\max\{|x(-1)|,|x(1)|\}\leqslant\frac{2}{3}\max\limits_{t\in[-1,1]}|x(t)|$
Так лучше вот почему: последний переход сразу же наталкивает на мысль, что максимум должен достигаться на концах.

[BlackQuarterback]

Mikhail_K в сообщении #1309438 писал(а):

Что он линеен. Напишите, как Вы это устанавливаете.

Возьмём $x_{1}(t), x_{2}(t) \in C[-1,1]$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Однородность:
$F[\alpha x_{1}] = \frac{1}{3}(\alpha x_1(-1) + \alpha x_1(1)) = \alpha\cdot\frac{1}{3}(x_{1}(-1) + x_{1}(1)) = \alpha F[x_{1}]$

Аддитивность:
$F[\alpha x_{1} + \beta x_{2}] = \frac{1}{3}((\alpha x_1(-1) + \beta x_2(-1)) + (\alpha x_1(1) + \beta x_2(1))) = \frac{1}{3}(\alpha x_1(-1) + \alpha x_1(1)) + \frac{1}{3}(\beta x_2(-1) + \beta x_2(1)) = F[\alpha x_1] + F[\beta x_2]$

Подобрал $x_{0}(t) = t^2 + 1$ и вроде бы все рассуждения для нормы выполнились. Спасибо большое!

[thething]

BlackQuarterback в сообщении #1312605 писал(а):

Подобрал $x_{0}(t) = t^2 + 1$

Долго подбирали? Самое простое -- взять $x_0(t)\equiv 1$