Векторное произведение соленоидальных полей

[Men007]

Показать, что векторное произведение соленоидальных полей не является соленоидальным векторным полем.

Решение:
Пусть дано два вектора:
$\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}+a_{z}\vec{k}$;

$\vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}+b_{z}\vec{k}$.

Поскольку поля соленоидальные, то:

$\operatorname{div}\vec{a}=\frac{\partial a_{x}}{\partial x}+\frac{\partial a_{y}}{\partial y}+\frac{\partial a_{z}}{\partial z}=0$;

$\operatorname{div}\vec{b}=\frac{\partial b_{x}}{\partial x}+\frac{\partial b_{y}}{\partial y}+\frac{\partial b_{z}}{\partial z}=0$.

Векторное произведение:

$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix} \right| =a_{y} b_{y} \vec{i} + b_{x} a_{z} \vec{j} + a_{x} b_{y} \vec{k} - a_{z} b_{y} \vec{i} - b_{z} a_{x} \vec{j} - a_{y} b_{x} \vec{k} = (a_{y} b_{y} - a_{z} b_{y} )\vec{i} + (b_{x} a_{z} - b_{z} a_{x})\vec{j} + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} )\vec{k}$

Следовательно, имеем:

$ \operatorname{div} \vec{F} = \frac{\partial (a_{y} b_{y} - a_{z} b_{y} )}{\partial x}+\frac{\partial (b_{x} a_{z} - b_{z} a_{x})}{\partial y}+\frac{\partial (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} )}{\partial z}$.

Но как действовать дальше я не совсем понимаю.

[Pphantom]

Это очень сложно. Попробуйте, во-первых, доказать искомое утверждение от противного и, во-вторых, использовать оператор $\nabla$ вместо расписывания по координатам.

[Otta]

Че-то как-то...

Men007 в сообщении #1309276 писал(а):

не является

наверное, "необязательно является". А то ведь может и являться.
И тогда все гораздо проще.

[alcoholist]

Men007 в сообщении #1309276 писал(а):

Показать, что

Вам достаточно указать пример двух соленоидальных полей, векторное произведение которых не соленоидально

Кстати, выражения для $a\times b$ и $ \operatorname{div} \vec{F} $ у вас неправильные.

[Men007]

Otta
В задании не уточнили на счет "необязательно является".
Но я думаю, что это подразумевалось.

Otta в сообщении #1309284 писал(а):

И тогда все гораздо проще.

Не могли бы вы написать подробнее? В чем проще?

[Otta]

Уже без меня уточнили. Чтобы показать, что птицы не всегда черные, достаточно указать хотя бы одну белую. Или синюю :)

-- 02.05.2018, 16:52 --

Men007 в сообщении #1309376 писал(а):

Но я думаю, что это подразумевалось.

Это неаккуратно, подразумевать в таких местах, когда смысл утверждения становится совсем другим.