Плотность распределения дисперсии

[sobiras]

Пусть имеется $n=2$ независимых реализации случайной величины, распределенной нормально с неизвестными матожиданием $m$ и дисперсией $\sigma^2$. Несмещённая оценка дисперсии $S^2=1$.
Известно, что величина $\chi^2=\frac{(n-1)\cdot S^2}{\sigma^2}$ имеет $\chi^2$-распределение $f(x)=\frac{x^\frac{n-3}{2}\cdot e^\frac{-x}{2}}{2^\frac{n-1}{2}\cdot \Gamma^\frac{n-1}{2}}$.
Доверительный интервал для дисперсии: $\frac{(n-1)\cdot S^2}{\chi_{1}^2} \leqslant \sigma^2 \leqslant \frac{(n-1)\cdot S^2}{\chi_{2}^2}$. При уровне значимости $\alpha=0.05$, $n=2$ и $S^2=1$ имеем: $0.2 \leqslant \sigma^2 \leqslant 1020$.
Непонятно следующее: какова плотность распределения дисперсии внутри данного интервала? Может быть, существует формула для плотности распределения дисперсии?

[Otta]

sobiras в сообщении #1308713 писал(а):

Непонятно следующее: какова плотность распределения дисперсии внутри данного интервала?

Мне тоже непонятно. Дисперсия - не случайная величина, чтобы иметь плотность.
И к чему она (плотность) Вам? Задача-то в чем?

[sobiras]

Разобьём интервал [0.2 ; 1020], например, на пять равных интервалов. И рассчитаем вероятность попадания дисперсии в каждый интервал. Получим, что с вероятностью 91.9 % дисперсия принадлежит интервалу [0.2 ; 204.16], 1.6 % – [204.16 ; 408.12], 0.7 % – [408.12 ; 612.08], 0.4 % – [612.08 ; 816.04], 0.3 % – [816.04 ; 1020]. Получается, что дисперсия каким-то образом распределена внутри исходного интервала. Задача в том, чтобы найти эту функцию распределения.

[Otta]

sobiras
То есть выборку зафиксировали насмерть, и известно, что величина $\dfrac{(2-1)\cdot 1}{\sigma^2}$ имеет $\chi^2_1$ распределение?

[sobiras]

Выборка может быть любой другой. Но в данном случае я рассматриваю именно выборку с $n=2$ и $S^2=1$.

[Brukvalub]

Вопрос приобретет смысл, если вы явно опишете, как устроена та с.в., плотность которой вы ищете. Одних слов "дисперсия с.в." для понимания явно маловато.

[sobiras]

Brukvalub
Что значит "явно" описать?

[Otta]

Если выборка не фиксирована и неизвестна выборочная дисперсия, ничего путного не получится, поскольку у Вас тогда задача из серии "ничего не дано, найти плотность".

Давайте я займусь телепатией и примерно напишу то, чего Вы хотите.

Задача: для данной реализации найти доверительную вероятность попадания генерального значения дисперсии в интервал $(0,x)$.
(По смыслу это именно то, чего Вы хотите.)

При известной выборочной дисперсии величина $\dfrac{(n-1)\cdot S^2}{\sigma^2}$ имеет хи-квадрат распределение с $(n-1)$ степенью свободы, а сама дисперсия, следовательно, обратное хи-квадрат распределение с тем же числом степеней свободы. Про него почитайте в англовики, например. Плотность там есть и можно вывести аналитически. Тем более, если степень свободы одна. Хуже с функцией распределения, там полезут неполные гамма-функции, если я навскидку не ошибаюсь.
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-c ... stribution

Это если задача найти функцию распределения. Если задача - просто найти вероятности попадания в тот или иной интервал, то все проще и можно работать с величиной, обратной квадрату дисперсии, и смотреть, куда и с какими вероятностями попадает она. Ее распределение Вы знаете точно и сразу.

Сравните:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CD ... 5D,+0.2%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?i=CD ... 1%5D,+5%5D

Звиняйте, мне на работу.

ps Но все равно задача как-то криво поставлена, не удовлетворена я этим.

[sobiras]

А можно ли методом статистического моделирования как-то показать, что дисперсия имеет обратное хи-квадрат распределение?

[Brukvalub]

sobiras в сообщении #1308739 писал(а):

Brukvalub
Что значит "явно" описать?

Например, "бросается игральная кость, с.в. есть число выпавших очков" - это явное описание с.в.