Условная плотность вероятности

[hiraev]

Решаю задачу из сборника задач под редакцией Свешникова.
Задача 18.19

Дана система нормальных случайных величин $(X_1,X_2,X_3,X_4), M[X_j]=0, D[X_j]=10$
$M[X_1X_3]=M[X_2X_4]=2$
$M[X_1X_2]=M[X_1X_4]=M[X_2X_3]=M[X_3X_4]=0$
Определить условную плотность вероятности $f(x_3,x_4|x_1,x_2)$...при $x_1=0, x_2=10$

Первым делом строю корреляционную матрицу
$K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\Delta=16$

$k_{ij}^{-1}=0$, для всех $i, j$, кроме $k_{13}^{-1}=k_{24}^{-1}=k_{31}^{-1}=k_{42}^{-1}=8$

С учетом $M[X_j]=0$ формула плотности вероятности для 4-ехмерного нормального распределения принимает вид:

$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{1}{(2\pi)^2\sqrt{\Delta}}e^{-8(x_1x_3+x_2x_4)}=\frac{1}{16\pi^2}e^{-8(x_1x_3+x_2x_4)}$

По формуле $f(x_3,x_4|x_1,x_2)=\frac{f(x_1,x_2,x_3,x_4)}{f_{1,2}(x_1,x_2)}$

$f_{1,2}(x_1,x_2)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x_1,x_2,x_3,x_4)dx_3dx_4=$

$\frac{1}{16\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-8(x_1x_3+x_2x_4)} dx_3dx_4=$

$=\frac{1}{256\pi^2x_1x_2}$

$f(x_3,x_4 | x_1,x_2) = \frac{16}{x_1x_2}e^{-8(x_1x_3+x_2x_4)}$

При подстановке $x_1 = 0$ получаем деление на ноль. И вообще мой ответ получился совсем далек от того, что представлен в ответах.

[Otta]

hiraev
А как Вы думаете, зачем в условии дисперсия?

[hiraev]

Понял, все элементы главной диагонали корреляционной матрицы должны быть равны 10.