Простое число очков

[Ktina]

а) В однокруговом шахматном турнире участвовало 30 шахматистов. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться простое число очков?

(по правилам шахматной игры за победу дают 1 очко, за ничью --- пол-очка, за проигрыш - 0)

б) А если шахматистов было не 30, а 20?

[waxtep]

(однокруговой турнир, т.е. каждый игрок играет с каждым другим ровно один раз)
а) Предположим, что среди $30$ игроков $x$ сильных и $30-x$ слабых; сильный всегда выигрывает у слабого, а в своем классе и сильные и слабые всегда играют вничью. Тогда, каждый слабый игрок наберет $\frac{29-x}2$ очков, а каждый сильный - $\frac{x-1}2+(30-x)=15+\frac{29-x}2$ очков. И, например, только $x=25$ подойдет, чтобы у всех игроков получилось простое число очков, у кого по $2$, а у кого по $17$.
Для $20$ шахматистов тоже работает (например, $x=13$)

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!

[Dmitriy40]

Ещё вариант для 30 игроков:
1 самый сильнейший обыгрывает всех прочих и набирает $0/2+29=29$ очков;
11 слабее, но одинаковых между собой, слабее себя обыгрывают, между собой вничью, набирают каждый по $10/2+18=23$ очка;
1 ещё слабее, обыгрывает слабее себя, набирает $0/2+17=17$ очков;
7 ещё слабее, но одинаковых между собой, слабее себя обыгрывают, между собой вничью, набирают каждый по $6/2+10=13$ очков;
5 ещё слабее, но одинаковых между собой, слабее себя обыгрывают, между собой вничью, набирают каждый по $4/2+5=7$ очков;
5 самых слабых, но одинаковых между собой, между собой играют вничью и набирают каждый по $4/2+0=2$ очка.

Возможны и другие деления на группы, например 1+11+13+5 или 13+7+5+5 или 13+11+1+5 или 21+3+1+5 или 1+23+1+5 или 1+19+5+5.

[Dmitriy40]

Что-то мне кажется что для любого числа игроков (от 5 и более) на заданных условиях игр существует разложение по простым числам очков.
Собственно это следует из сильной ограниченности интервалов между простыми, а начальные значения проверяются прямо. Разложив числа 5..16 легко доказывается для чисел 17..75, а по ним и как минимум до 10000.

[Ktina]

Dmitriy40
Красивое обобщение, спасибо!