Разложение в ряд Тейлора

[AnthonyP]

$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+x}=\sum\limits_{n_1=0}^{\infty}(-1)^{n_1}x^{n_1} \cdot \sum\limits_{n_2=0}^{\infty}(-1)^{n_2}\frac{x^{n_2+1}}{n+1}=$
берем $n_1+n_2=n$

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( (-1)^n x^{n+1} \sum\limits_{n_2=0}^{\infty} \frac{1}{n_2+1} \right)=$
Кто-нибудь может объяснить, почему далее идет такое преобразование (n начинается с 1 и степени у икса и -1 меняются)
$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( (-1)^n \left( 1+ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}\right) x^n \right)$

[mihaild]

AnthonyP в сообщении #1307237 писал(а):

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( (-1)^n x^{n+1} \sum\limits_{n_2=0}^{\infty} \frac{1}{n_2+1} \right)=$

Предел во внутренней сумме перепроверьте.

И сделайте подстановку $n = m - 1$. Правда $-1$ в последнем выражении должно быть в другой степени, точно не опечатка?

[AnthonyP]

mihaild в сообщении #1307238 писал(а):

Предел во внутренней сумме перепроверьте.

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( (-1)^n x^{n+1} \sum\limits_{n_1 + n_2=\text{не видно чему}}^{\infty} \frac{1}{n_2+1} \right)=$

mihaild в сообщении #1307238 писал(а):

точно не опечатка

Опечатка
$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( (-1)^{n-1} \left( 1+ \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}\right) x^n \right)$

[mihaild]

AnthonyP в сообщении #1307262 писал(а):

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( (-1)^n x^{n+1} \sum\limits_{n_1 + n_2=\text{не видно чему}}^{\infty} \frac{1}{n_2+1} \right)=$

Ну даже чисто формально, забив пока на сходимость - у вас изначально есть двойной ряд $\sum\limits_{n_1=0}^\infty \sum \limits_{n_2=0}^\infty f(n_1, n_2)$. Вы делаете переобозначение $n = n_1 + n_2, n_1 = n - n_2$. Подставьте, что получится с пределами?

[AnthonyP]

mihaild
$\sum\limits_{n=n_2}^\infty \sum \limits_{n_2=0}^\infty f(n-n_2, n_2)$

[mihaild]

AnthonyP в сообщении #1307279 писал(а):

$\sum\limits_{n=n_2}^\infty \sum \limits_{n_2=0}^\infty f(n-n_2, n_2)$

Так нельзя: внешний предел суммирования не может зависеть от переменной внутреннего.

[AnthonyP]

mihaild
Неужели так? Выглядит еще более странно
$\sum\limits_{n_2=n}^\infty \sum \limits_{n_2=0}^\infty f(n-n_2, n_2)$

[mihaild]

У вас пара $(n_1, n_2)$ может принимать все значения из $\mathbb{N}^2$. Какие значения может принимать пара $(n_1 + n_2, n_2)$?

[AnthonyP]

mihaild
Все

[mihaild]

Вообще все? Может ли она принимать значение $(\text{форум dxdy}, \text{желтые ботинки})$?

[AnthonyP]

mihaild
Такие точно нет. Я о

mihaild в сообщении #1307297 писал(а):

все значения из $\mathbb{N}^2$

Вроде бы и хочется ответить не все, но не понимаю почему

[mihaild]

Ну скажем попробуйте найти значения $n_1, n_2$ при которых $n = 2, n_2 = 3$.

(вы вообще про замену координат в геометрии слышали? тут всё то же самое)