Пеленг из точки А в точку B

[alhimikoff]

Нашёл интересную формулу для вычисления пеленга:
$P_1=atan2(\dfrac{\sin(\Delta\lambda)\cdot \cos(\varphi_2)}{\cos(\varphi_1)\cdot\sin(\varphi_2) - \sin(\varphi_1)\cdot\cos(\varphi_2)\cdot\cos(\Delta\lambda)})$
где $\varphi_1, \varphi_2$ - широты точек,
$\Delta\lambda$ - разница долгот
Если попробовать вывести это через векторную алгебру или сферическую геометрию можно утонуть в тригонометрии.
Тут написано как преобразовать векторное произведение чтоб так получилось.
http://mathforum.org/library/drmath/view/55417.html
По-моему должен быть ясный физический смысл числителя и знаменателя.
Числитель напоминает сферическую теорему синусов для прямоугольного треугольника, знаменатель сферическую теорему косинусов.
Пририсовал полярный треугольник. Он вроде ничего не дает.
Кто-то может пояснить?

[Pphantom]

alhimikoff в сообщении #1307229 писал(а):

Числитель напоминает сферическую теорему синусов для прямоугольного треугольника, знаменатель сферическую теорему косинусов.
Пририсовал полярный треугольник. Он вроде ничего не дает.
Кто-то может пояснить?

Ее можно так получить, рассмотрев треугольник с вершинами в двух рассматриваемых точках и в полюсе, при этом известен угол при полюсе (это разность долгот $\Delta \lambda$) и две прилегающие стороны ($90^\circ - \varphi_1$ и $90^\circ - \varphi_2$). Если воспользоваться сферической теоремой косинусов, можно найти сторону, противолежащую полюсу, а потом с помощью теоремы синусов найти пеленг. Сложность в том, что для противолежащей полюсу стороны при этом получится косинус, а для теоремы синусов нужен синус, поэтому результат первого действия придется немного попреобразовывать. Как следствие, числитель действительно является прямым последствием использования теоремы синусов, а вот знаменатель - это теорема косинусов и дополнительный последующий переход от синуса угла к тангенсу.

Ну или есть совсем простой путь - формула четырех элементов. Она позволяет написать это выражение сразу.

[alhimikoff]

Pphantom
Теорема косинусов
$\cos(AB)=\sin(\varphi_1)\sin(\varphi_2)+\cos(\varphi_1)\cos(\varphi_2)\cos(\Delta\lambda)$(1)
Теорема синусов
$\sin(p_1)=\dfrac{\sin(\Delta\lambda)\cos(\varphi_2)}{\sin(AB)}$(2)
Ещё раз теорема косинусов
$\sin(\varphi_2)=\cos(AB)\sin(\varphi_1)+\sin(AB)\cos(\varphi_1)\cos(p_1)$(3)
Выражаю из (3) косинус пеленга, и делю (2) на (3), синус AB ушёл,
дальше подставить (1) в знаменатель, и формула готова, всё оказалось не так страшно

Но физический смысл всё равно не ясен.
Числитель и знаменатель напоминают непосредственное свойство каких-то треугольников (скажем применение теорем синусов и косинусов). Можно ли построить эти треугольники?

[Pphantom]

alhimikoff в сообщении #1307413 писал(а):

Числитель и знаменатель напоминают непосредственное свойство каких-то треугольников (скажем применение теорем синусов и косинусов). Можно ли построить эти треугольники?

В принципе да - поигравшись с заменой точек на диаметрально противоположные на сфере. Но большого смысла в этом не видно: формула четырех элементов является таким же "непосредственным свойством" треугольника.