Маятник Капицы

[pogulyat_vyshel]

Введем в вертикальной плоскости декартову систему координат $xy$ так, что ускорение свободного падения записывается следующим образом:
$\boldsymbol g=-g\boldsymbol e_y.$

Маятник представляет собой невесомый нерастяжимый стержень длины $l$ с материальной точкой массы $m$ на конце. Другой конец стержня -- точка подвеса маятника лежит на оси $y$ и колеблется по закону $y=\varepsilon f(\omega t/\varepsilon)$. Здесь $f=f(s)$ -- гладкая $2\pi-$периодическая функция; $\omega>0$ -- константа; $\varepsilon>0$ -- малый параметр.

Через $\varphi$ обозначим угол между стержнем и осью $y$ так, что в нижнем вертикальном положении равновесия $\varphi=0$ и координаты точки $m$ записываются следующим образом

$$x_m=l\sin\varphi,\quad y_m=\varepsilon f(\omega t/\varepsilon)-l\cos\varphi.$$

После обезразмеривания $m=1,\quad l=1,\quad \omega=1$ гамильтониан системы приобретает вид

$$H(t,p,\varphi)=\frac{1}{2}p^2-pu( t/\varepsilon)\sin\varphi-\frac{1}{2}u^2( t/\varepsilon)\cos^2\varphi-g\cos\varphi,$$

где $u(s)=f'(s).$

Сделаем замену времени в этой системе $\tau= t/\varepsilon$, получится система с гамильтонианом

$$K(\tau,p,\varphi)=\varepsilon\Big(\frac{1}{2}p^2-pu( \tau)\sin\varphi-\frac{1}{2}u^2( \tau)\cos^2\varphi-g\cos\varphi\Big).$$

Дальше основная идея состоит в том что бы подобрать каноническую близкую к тождественной замену координат $(p,\varphi)\mapsto (P,\Phi)$ такую, что бы в новых координатах убрать зависимость гамильтониана от времени в члены порядка $O(\varepsilon^2).$

Искать такую замену будем с помощью производящей функции $S(\tau,P,\varphi)=P\varphi+\varepsilon w(\tau,P,\varphi).$ Функция $w$ является $2\pi-$периодической по $\tau,\varphi$.

После замены переменных

$$\Phi=\frac{\partial S}{\partial P}=\varphi+\varepsilon\frac{\partial w}{\partial P},\quad p=\frac{\partial S}{\partial \varphi}=P+\varepsilon\frac{\partial w}{\partial \varphi}$$

мы получаем систему с гамильтонианом

$$F(\tau,P,\Phi)=\varepsilon\Big(\frac{1}{2}P^2-Pu( \tau)\sin\Phi-\frac{1}{2}u^2( \tau)\cos^2\Phi-g\cos\Phi+\frac{\partial w}{\partial \tau}\Big)+O(\varepsilon^2).$$

Функция $u$ является производной периодической функции, поэтому ее разложение Фурье имеет вид

$$u=\sum_{k\ne 0}u_ke^{ik\tau}.$$

Разложим в ряд Фурье квадрат этой функции

$$u^2=\sum_{k\in\mathbb{Z}}U_ke^{ik\tau}.$$

Остается взять

$$w=\sum_{k\ne 0}w_ke^{ik\tau},\quad w_k=\frac{\frac{1}{2}U_k\cos^2\varphi+Pu_k\sin\varphi }{ik},\quad k\ne 0.$$

Отсюда

$$F=\varepsilon\Big(\frac{1}{2}P^2-\frac{1}{2}U_0\cos^2\Phi-g\cos\Phi\Big)+O(\varepsilon^2).$$

Системой первого приближения назовем систему с гамильтонианом

$$F_0=\varepsilon\Big(\frac{1}{2}P^2-\frac{1}{2}U_0\cos^2\Phi-g\cos\Phi\Big).$$

Вводя эффективный потенциал

$$V_{\mbox{эфф}}=-\frac{1}{2}U_0\cos^2\Phi-g\cos\Phi,$$

убеждаемся, что положение равновесия $\Phi=\pi$ системы первого приближения
является устойчивым при $U_0>g$.

Строгое доказательство того, что периодическое решение $\Phi=\pi$ системы с гамильтонианом $F$ является устойчивым проводится методами теории КАМ.