Существование голоморфной функции

[MChagall]

$D$ - единичный круг. Существует ли голоморфная в $D$ функция $f$, такая, что:
a) $f(\pm\frac{1}{n})=\frac{1}{n^2}$
b) $f(\pm\frac{1}{n})=\frac{1}{n^3}$
c) $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{\sqrt{n}}$
d) $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{2^n}$

a) Не пойму в чём подвох. $f(z)=z^2$ ?
b) Не существует. Рассуждение такое: пусть $g(z)=z^3$. $f(z)$ и $g(z)$ совпадают на множестве $\left\lbrace \frac{1}{n}\right\rbrace$, которое имеет предельную точку $z=0$, принадлежащую $D$, где обе функции голоморфны. Значит, по теореме единственности они совпадают на всём $D$. Но $g(-\frac{1}{n})\ne \frac{1}{n^3}$. Противоречие. Верно ли это решение?
c) Аналогично b) уже не получается, ибо $g(z)=\sqrt{z}$ не голоморфна в $z=0$ и применить теорему единственности не получается. Как быть здесь?

[Brukvalub]

MChagall в сообщении #1306524 писал(а):

c) Аналогично b) уже не получается, ибо $g(z)=\sqrt{z}$ не голоморфна в $z=0$ и применить теорему единственности не получается. Как быть здесь?

Все нули голоморфной в области функции - изолированные, и, локально, поведение такой функции в окрестности нуля "похоже" на поведение степенного монома.

[MChagall]

a) и b) я так понимаю верно у меня?

Brukvalub в сообщении #1306549 писал(а):

"похоже" на поведение степенного монома

Получается вот что: $f(0)=0$, значит $f(z)=z^k\varphi(z)$ в некоторой окрестности нуля. При этом $\varphi(z)$ голоморфна в нуле. Далее $\frac{1}{n^k}\varphi(\frac{1}{n})=\frac{1}{\sqrt{n}}$, и $\varphi(\frac{1}{n})=\sqrt{n^{2k-1}}$. При стремлении $n$ к $\infty$ $z$ стремится к нулю, а $\varphi(z)$ стремится к $\infty$. Следовательно $\varphi(z)$ не голоморфна в нуле. Противоречие. Значит такой функции не существует.
Это верное рассуждение?

[MChagall]

Ну и по поводу d). Попробовал функцию $f(z)=e^{\frac{\ln\frac{1}{2}}{z}}$. В нуле у неё существенная особенность. Использовать теорему единственности как в b) нельзя.
Но и как в c) не выходит, ибо $\varphi(\frac{1}{n})=\frac{n^k}{2^n}$ и в пределе ноль. Что здесь применить?

[vpb]

Brukvalub в сообщении #1306549 писал(а):

Все нули голоморфной в области функции - изолированные, и, локально, поведение такой функции в окрестности нуля "похоже" на поведение степенного монома

MChagall,
сначала помедитируйте, при необходимости почитайте учебник, и придайте точный смысл указанному утверждению.
И напишите его сюда.

[MChagall]

vpb в сообщении #1306627 писал(а):

точный смысл

Если $a$ - нуль голоморфной в этой точке функции $f$, не равной тождественно нулю ни в какой окрестности $a$, то существует $k\in\mathbb{N}$, такое, что $f(z)=(z-a)^k\varphi(z)$, где $\varphi(z)$ голоморфна в $a$ и отлична от нуля в некоторойт окрестности этой точки.

Тогда в d) противоречие в том, что $\varphi(0)$ получается равной нулю. Верно?

[DeBill]

MChagall
Да.
В с) можно также рассмотреть квадрат Вашей функции