Резонансы в вынужденных колебаниях осциллятора Дуффинга

[eugrita]

Рассматривается осциллятор Дуффинга без квадратичной нелинейности, в условиях резонанса на тройной частоте. т е заданный уравнением
$\ddot{x}+\lambda \dot{x}+w_0^2x+\beta x^3=f \cos(3w_0 t+\varepsilon)$
Надо получить оценки амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от расстройки $\varepsilon$
Эта задача рассмотрена в Ландау Лифшиц. т1.Механика, с.121
Тем не менее при чтении текста возникли некоторые непонимания.
Собственно основы метода изложены там же с.115 на примере собственных колебаний осциллятора. Решение раскладывается в виде
$x(t)=x_1(t)+x_2(t)+..$. где $x_1(t)=a \cos wt$
(при этом хотя малый параметр не введен , но видимо подразумевается что каждое следующее приближение много меньше предыдущего)
вопросы по приведенной там формуле
$\ddot{x_2}+\lambda \dot{x_2}+w_0^2 x_2+\beta x_2^3=-3\beta\cdot x_1 \cdot x_2^2 $
где $x_1=- \frac{f}{8 w_0^2}\cos(3w_0 t+\varepsilon)$
1)Почему в правой части автор оставляет только член (приводящий по его словам к рассматриваемому резонансу)?
2)почему он полагает в нем $x_2=b \cos[(w_0+\frac{\varepsilon}{3})t+\delta]$ и как получает в правой части выражение
$\frac{3}{32} \frac{b^2f}{w_0^2}\cos[(w_0+\frac{\varepsilon}{3})t-2 \delta]$
(ведь произведение косинусов $\cos[(w_0+\frac{\varepsilon}{3})t+\delta] \cdot \cos(3w_0 t+\varepsilon)$ нетривиально.

[eugrita]

если подставлять $x=x_1+x_2$ в исходное уравнение
где 1 приближение $x_1$ удовлетворяет
$\ddot{x}_1+2 \lambda \dot{x}_1+ w_0^2 x_1=fcos(3w_0+\varepsilon)t$ т е само имеет вид
$x_1 (t)=a\cos[(3w_0+\varepsilon)t+\delta]$
то правая часть имеет вид $-\beta x_1^3-3\beta x_1^2-3\beta x_1x_2^2-x_2^3$
а не только $3\beta x_1x_2^2$
и резонансные члены 3 гармоники появятся от всех слагаемых

[mihiv]

eugrita в сообщении #1306613 писал(а):

и резонансные члены 3 гармоники появятся от всех слагаемых

Нет. Например, $x_1^3=f^3\cos ^3(3\omega _0+\varepsilon )t=\dfrac {f^3}4(3\cos (3\omega _0+\varepsilon )t+\cos (9\omega _0+3\varepsilon )t)$, а резонансное слагаемое должно иметь частоту $\omega _0+\dfrac {\varepsilon }3$

[eugrita]

при $x_1(t)=a_1\cos[(3w_0 +\varepsilon)t+\delta]$
$x_2(t)=a\cos[(w_0 +\frac{\varepsilon}{3})t+\delta]$
близкую к резонансной частоту $w_0$ будут иметь
1)$-3\beta x_1^2 x_2$
т к $\cos^2[(3w_0+\varepsilon)t]$ даст постоянную 0.5
и получим $0.5a \cdot a_1^2 \cos[(w_0+\frac{\varepsilon}{3})t+\delta]$
2)$-3\beta x_1 x_2^2$ который и рассм. Ландау
дающий резонансную частоту с ампл $-3\beta\frac{1}{4}a_1 \cdot a^2$
3)$-3\beta x_2^3$ дающий $\cos^3 (x)$ и имеющий после преобразования 1 гармонику c 3/4
$-3\beta \frac{3}{4} a^3$
правда во всех выражениях выше произведение амплитуд $a,a_1$ имеет 3 степень . Ландау писал раньше что пренебрегает степенями выше 2й
Мне вообще не понятна формула для 2 приближения, которой он пользуется (см фото). Мне кажется в правой части гораздо больше членов

[eugrita]

рассматривая резонанс $\Omega=2\omega_0$ он почему-то для 2 приближения пользуется формулой
$\ddot{x}_2+2\lambda \dot{x}_2+\omega_0^2 x_2=-\alpha x_1^2$
из остальных членов
$-2\alpha x_1x_2, -\alpha x_1^2 .-\beta x_1^3, -3\beta x_1^2 x_2, -3\beta x_1 x_2^2$ выбрав только 1-й
хотя член $-3\beta x_1^2 x_2 =-3\beta \cdot a_1^2\cos^2(2w_0+\varepsilon)t \cdot x_2=-3\beta x_2 a_1^2(0.5+0.5 \cdot\cos(4w_0+2\varepsilon)t) $
дает $-1.5 \beta a_!^2 x_2$
он что, пренебрег им из-за малости?
рассматривая резонанс $\Omega=0.5\omega_0$
член $-3\beta x_1^2 x_2$ он тоже не учитывает
хотя он дает тоже $-1.5 \beta a_!^2 x_2$