Что такое основание натурального логарифма?

[epros]

root_knowledge в сообщении #1306534 писал(а):

Короче вводим число e через само себя

Почему через само себя? Где в определении геометрической прогрессии число $e$?

[wrest]

root_knowledge в сообщении #1306534 писал(а):

Которые можно вспомнить в любой момент и представить быстро в уме, когда видишь формулу с числом e.

Ну вот мне лично кажется, что это таки

root_knowledge в сообщении #1306466 писал(а):

то что экспонента дифференцируется в саму себя.

[miflin]

root_knowledge в сообщении #1306534 писал(а):

Самые интуитивно понятные. Которые можно вспомнить в любой момент и представить быстро в уме, когда видишь формулу с числом e.

Цитата:

Таким образом, константа $e$ означает максимально возможную годовую прибыль при $100$% годовых и максимальной частоте капитализации процентов

См. в Википедии.
Теперь понять бы, в шутку я это написал или всерьёз...

[Brukvalub]

root_knowledge в сообщении #1306515 писал(а):

Да вполне отлично проявление. Также число пи по факту неразлучно с операциями взятия синуса и косинуса, которые тоже имеют аналоги в реальном мире. И можно рассматривать число пи через них.

Ошибочное суждение. Число "пи" появляется вовсе не из синусов и косинусов.

[mihaild]

Brukvalub в сообщении #1306547 писал(а):

Число "пи" появляется вовсе не из синусов и косинусов.

Смотря что понимать под "появляется". Рудин например определяет $\pi$ как удвоенный наименьший нуль косинуса (причем косинус определяет через комплексную экспоненту, а комплексную экспоненту через ряд).

[lel0lel]

Можно вот такое определение дать: строим в плоскости график функции $f(x)=1/x$, получим привычную гиперболу. Находим площадь участка ограниченного графиком, осью абсцисс и прямыми $x=1$, $x=2$. Этот участок называют криволинейной трапецией, площадь которой обозначают так $S=\int_{1}^{2}1/x\,dx$. Будем называть экспонентой (и обозначать буквой $e$) такое число, для которого справедливо $e^S=2$.

[Brukvalub]

Число "пи" есть арифметический квадратный корень из ушестеренной суммы обратных квадратов, это самое наглядное определение, легко ощущаемое позвоночником в нашем материальном мире!

[Mihr]

(Оффтоп)

Роберт Рождественский писал(а):

Что это такое — портфель без «фель»?
Это всё равно, что медведь без «ведь»,
И, конечно, если трамвай без «вай»,
Это что угодно, только вовсе не трамвай!

Предлагаю, в духе стихов Рождественского, считать, что $e$ — это енот без нот. Пусть не очень точно, зато вполне наглядно.

[Someone]

lel0lel в сообщении #1306553 писал(а):

Будем называть экспонентой (и обозначать буквой $e$) такое число

Вообще-то, экспонентой называется не число $e$, а показательная функция $\exp(x)=e^x$.

[lel0lel]

Someone
Ага, виноват), спасибо.

[root_knowledge]

epros в сообщении #1306541 писал(а):

root_knowledge в сообщении #1306534 писал(а):

Короче вводим число e через само себя

Почему через само себя? Где в определении геометрической прогрессии число $e$?

Скорее всего правда на вашей стороне. Сегодня уже устал про это думать.
Логарифм определенно связан с геометрической прогрессией, хотя бы, чтобы превратить ее в арифметическую. А из обычного логарифма можно получить натуральный. Но вот для этого ведь нужно знать определение натурального логарифма, то есть что такое число $e$.

wrest в сообщении #1306542 писал(а):

Ну вот мне лично кажется, что это таки

Выходит, что число $e$ неразрывно с логарифмом или показательной функцией, и за пределами такого контекста не рассматривается.
Для поиска глубинного смысла нужно рассматривать не число $e$ а логарифмическую и показательную функцию. То что это именно натуральный логарифм или экспонента, это просто для сокращения записи и вычислений с логарифмами и показательными функциями. В этом весь смысл числа $e$.
Глубинный смысл логарифма в том, что он позволяет трансформировать умножение/деление в сложение/вычитание, а возведение в степень/взятие корня в умножение/деление.
Глубинный смысл показательной функции в этом:
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}} {\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$
${\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}} (ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$

Связь с реальностью нужно искать отдельно для каждого прикладного случая. Например для нормального распределения связь с реальностью в самом нормальном распределении (что видно на его графике), а то, что оно выражено через показательную функцию, ну так совпало. А то что эта показательная функция является экспонентой - это просто более короткая форма записи.

Ничего не упустил?)

[INGELRII]

root_knowledge в сообщении #1306570 писал(а):

Ничего не упустил?

Ну давайте введем функцию $\exp(x)$ безо всяких чисел $e$, чому бы нет. Теперь чисто из баловства давайте найдем ее значения в наугад взятых точках, ведь полезно же знать про функцию, чему конкретно она равна в той или другой точке. Вот, например, чему равно $\exp(1)$ ?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

root_knowledge в сообщении #1306466 писал(а):

Я хочу понять как эта абстракция проявляется во вне (в наблюдаемом мире)

Сперва прочёл "в овне" и испугался - кроме философов, нам ещё астрологов не хватало. Потом поправил второе слово и пожалел бедного депрессивного автора - каким отвратительным ему представляется "наблюдаемый мир". Потом, наконец, прочёл правильно...

А теперь вспоминаем, как из сугубо практических (а астрономия, для "возлюбленных студентов-астрономов" и создавал логарифмы Непер, уже была практической наукой) соображений родилось число e.
Славный высокоучёный барон заметил острым глазом горца, что $a^ma^n=a^{m+n}$, то есть имеется соответствие между умножением и сложением, и можно трудоёмкое умножение заменить на более простое сложение, если только научиться быстро переходить от степени к её показателю и наоборот. Для этого он составил таблицы последовательных степеней, взяв основание 1.0000001, достаточно просто позволявшее умножать на себя. Так получились таблицы первых логарифмов. Но семь знаков для его задач было достаточно, с большим запасом, однако могли быть задачи, требовавшие большей точности, хотя для большинства задача и эта была избыточна. Впрочем, создавать много семейств логарифмов для разной точности явно нерационально, и если можно сразу выйти на максимальную точность, будет хорошо. Для каждого количества знаков можно найти величину, логарифм которой по такому основанию равен единице. 2.593 для одного знака, возведения в последовательные степени 1.1, 2.7048 для двух, возведения 1.01, 2.7169 для трёх, возведения 1.001, 2.7181 для четырёх, для точности первоначальных таблиц Непера 2.718281693 и т.д. Затем доказывается, что если будет брать всё более и более - придём к пределу, и он равен 2.718281828459045...
То есть чистая прагматика.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1306560 писал(а):

Предлагаю, в духе стихов Рождественского, считать, что $e$ — это енот без нот. Пусть не очень точно, зато вполне наглядно.

Не жалко зверушку-постирушку, лишённую Научной Организации Труда?!

[Aritaborian]

Евгений Машеров в сообщении #1306614 писал(а):

Сперва прочёл "в овне" и испугался

А я сразу вспомнил эпизод культового мультсериала и далее читал топик, находясь в соотв. настроении. Что интересно, не ошибся: только в таком настроении его читать и можно. Фигасе тараканы у некоторых в голове.