Сколько яблок на яблоне?

[Ktina]

На яблоне выросло $n$ яблок. Все эти яблоки разложили в коробки по 8 яблок и по 9 яблок. При каком наибольшем значении $n$ можно однозначно определить, сколько получилось коробок, в которых по 8 яблок, и сколько по 9 яблок?

[lel0lel]

Если $n>55$, то уравнение в натуральных числах $8k+9m=n$ имеет хотя бы одно решение. Если $n=55$, то решений нет, в этом легко убедиться рассмотрев уравнение по модулю $8$: получим, что наименьшее возможное $m$ равно $7$, чего быть не может, т.к. $63>55$. Для случая $n>55$ подобный анализ всегда приводит к решению. Наименьшее $n$ при котором уравнение имеет более одного решения равно $72$. Стало быть если яблок на дереве больше чем $127$, то их всегда можно разделить на две кучки - в одной 72 яблока, в другой оставшиеся (которых больше 55), а это приводит как минимум к двум решениям (разбиениям по ящикам). При $n=127$ решение одно (проверяем это сравнивая по модулю 8).

[Ktina]

lel0lel
Большое спасибо!

[waxtep]

Можно тот же ответ получить другим путем, более поверхностным рассуждением: пусть $n=8x+9y=8(x+y)+y$ с целыми $x,y\ge0$ раскладывается по корбкам неоднозначно. Тогда, должно "работать" и хотя бы одно из "близких" разбиений по коробкам, $n=8((x+9)+(y-8))+(y-8)$ или $n=8((x-9)+(y+8))+(y+8)$. В противном случае однозначного разбиения, в обоих этих разбиениях должно возникать отрицательное количество коробок, т.е. $y\le7,x\le8$, что и дает $127$ в максимуме