|
x0rr |
|
|
|
в инвариантных обозначениях
есть квадратичная форма Q(x) = x·B·x (B - симметричная матрица)
соответствующая билинейная форма P(x,y) = x·B·y
как доказать, что, если преобразование A сохраняет квадратичную форму Q(x) = Q(A·x), то в этом и только в этом случае сохраняется и билинейная форма P(x,y) = P(A·x,A·y)?
|
|
|
|
 |
|
PAV |
|
|
|
Выразите билинейную форму через квадратичную. Для этого распишите по билинейности значение Q(x+y)=P(x+y,x+y)
|
|
|
|
|
|
x0rr |
|
|
|
спасибо, выразил
x·B·y = 1/2[(x+y)·B·(x+y) - x·B·x - y·B·y]
понятно, что правая часть не меняется при преобразовании A (по условию)
а как доказать, что тогда и только тогда?
|
|
|
|
|
|
PAV |
|
|
|
Если не меняется квадратичная, то не меняется и билинейная в силу полученного соотношения. Обратно, если инвариантна билинейная, то инвариантна и квадратичная, так как она является частным случаем билинейной.
|
|
|
|
|
