Наименьшее действие и вариация метрики в ОТО: ЛЛ2

[Ascold]

Переход от нештрихованных координат к штрихованным интерпретируем как вариацию, получаем (94.2) Здесь всё легко проверяется. Но как получить (94.3), откуда там минусы? С учётом симметричности связности

$$\xi_{i;k}+\xi_{k;i}=\xi_{i,k}+\xi_{k,i}-2\Gamma^l_{ki}\xi_l$$

после перемены знака не превращается в выражение(опускаем индексы $i$ и $k$ в трёх правых слагаемых формулы, что чуть выше (94.2))

$$-\xi_l g^{,l}_{ik}+\xi_{k,i}+\xi_{i,k}.$$

Ниже там пишется: "так, чтоб с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие $g_{il}g'^{kl}=\delta^k_i , эти минусы с этим связаны?

[Slav-27]

Да, с этим: $\delta_i^k=g'_{il}g'^{lk}=(g_{il}+\delta g_{il})(g^{lk}+\delta g^{lk})=\delta_i^k+\delta g_{il}g^{lk}+g_{il}\delta g^{lk}$ (с точностью до членов первого порядка по $\delta g$)

[Erleker]

Ascold в сообщении #1305401 писал(а):

Переход от нештрихованных координат к штрихованным интерпретируем как вариацию

Что вы имеете ввиду?

Ascold в сообщении #1305401 писал(а):

(опускаем индексы $i$ и $k$ в трёх правых слагаемых формулы, что чуть выше (94.2))

Вы делаете это неправильно. Вы , видимо, "механически" не обратили внимание, что метрика не постоянна по обычным производным, в отличии от ковариантных не "проносится" ( и индекс у вектора под производной не опускается "тупо").
Просто учитывайте выражения типа:
$\partial_{l} \xi_i=\partial_{l}( g_{ik} \xi^k)=g_{ik}\partial_{l}\xi^k+\xi_mg^{mk}\partial_{l} g_{ik}$
Соответственно, учет в выражении слагаемых типа последнего вместе с той производной по метрике, что была, втроем и "сформируют" тот самый удвоенный символ Кристоффеля, помноженный на $\xi$ (думаю, теперь понятно, как именно там расписывать не хочу) и получится именно:

$$\xi_{i;k}+\xi_{k;i}$$

Ascold в сообщении #1305401 писал(а):

Ниже там пишется: "так, чтоб с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие $g_{il}g'^{kl}=\delta^k_i , эти минусы с этим связаны?

Slav-27 уже ответил, в чем суть. Замечу, что очень удобно (особенно в больших вычислениях) обозначение $h_{ik}= \delta g_{ik}$, и поднятие у $h_{ik}$ происходит обычным способом, тогда $h^{ik}=-\delta g^{ik}$. Если записывать все в терминах $h$, о знаке придется вспоминать гораздо реже.

[Ascold]

Erleker в сообщении #1305441 писал(а):

Ascold в сообщении #1305401 писал(а):

Переход от нештрихованных координат к штрихованным интерпретируем как вариацию

Что вы имеете ввиду?

Это не я имею ввиду, а Ландау: добавку к метрике после координатного преобразования обозначили вариацией $\delta g^{ik}=\xi^{i;k}+\xi^{k;i},$ в силу дальнейшего использования этой вещи я понимаю это так: варьируем всё - и метрику, и координаты материи, тогда изменение метрики д.б. согласовано с вариацией координат формулами координатного преобразования метрики, или нет?

Ascold в сообщении #1305401 писал(а):

(опускаем индексы $i$ и $k$ в трёх правых слагаемых формулы, что чуть выше (94.2))

Erleker в сообщении #1305441 писал(а):

Вы делаете это неправильно. Вы , видимо, "механически" не обратили внимание, что метрика не постоянна по обычным производным, в отличии от ковариантных не "проносится" ( и индекс у вектора под производной не опускается "тупо").

Не, как оказалось, я не это делал неправильно: само собой, что нельзя под обычную производную метрику протаскивать, я написал координатное преобразование ковариантного метрического тензора, не обратив внимание на инверсию матрицы преобразования.

[Slav-27]

Ascold в сообщении #1305515 писал(а):

я понимаю это так: варьируем всё - и метрику, и координаты материи, тогда изменение метрики д.б. согласовано с вариацией координат формулами координатного преобразования метрики, или нет?

Как-то так. Попробую всё-таки сейчас пересказать то, что там написано, по-другому.

Начнём со следующего тривиального замечания. Пусть есть 2 пространства-времени $(M,g)$ и $(M', g')$. (Где $M$ -- это само многообразие, а $g$ -- метрика.) И пусть между ними есть биекция $\varphi$, которая сохраняет и гладкую структуру, и метрику.

(Оффтоп)

Иными словами, отображение $\varphi: M \to M'$ является одновременно диффеоморфизмом и изометрией. Ещё иными словами, $\varphi_*g=g'$, где $\varphi_*g$ -- это метрика, которую диффеоморфизм $\varphi$ приносит на $M'$.

Тогда эти 2 пространства-времени эквивалентны (говоря математическим языком, изоморфны как псевдоримановы многообразия). Это замечание совершенно тривиально!

Предположим теперь, что задан некий диффеоморфизм $\varphi: M\to M$. Тогда, по вышесказанному, пространство-время $(M,g)$ эквивалентно $(M, \varphi_*g)$. Таким образом, в выборе метрики на $M$ имеется "калибровочная свобода": для любого такого диффеоморфизма $\varphi$ метрика $g$ эквивалентна метрике $\varphi_*g$. Это пишут в хороших учебниках по ОТО (например Уолд "Общая теория относительности" или Хокинг-Эллис "Крупномасштабная структура пространства-времени").

Действие материи является функционалом от полей материи и метрики.

(Оффтоп)

То есть лагранжиан не должен зависеть от координат явно, но от метрики он может зависеть. Лагранжиан должен быть скаляром, и поэтому поля материи должны входить в лагранжиан как скаляры. Если среди полей материи есть, скажем, векторные, то из них нужно строить скаляр, а скаляры из векторов строятся с помощью метрики.

Предположим теперь, что задана некая однопараметрическая группа диффеоморфизмов $\varphi_\lambda:M\to M$ (параметр $\lambda$ меняется в окрестности нуля, и $\varphi_0$ -- тождественное преобразование). Так как под действием диффеоморфизма мы получаем эквивалентное пространство-время, то действие материи должно быть инвариантно относительно этой группы диффеоморфизмов: $S_M[\Psi, g]=S_M[\varphi_{\lambda *}\Psi, \varphi_{\lambda*} g]$ (здесь $\Psi$ означает все материальные поля).

Таким образом, мы находимся в ситуации, аналогичной условиям теоремы Нётер. Мы можем действовать как при выводе теоремы Нётер и получить "сохраняющуюся" величину $T^{ik}$ ("сохраняющуюся" в том смысле, что ${T^{ik}}_{;k}=0$). По обычной теореме Нётер для плоского пространства, сохранение энергии и импульса связано с инвариантностью действия относительно трансляций во времени и в пространстве. Так и здесь "сохранение" энергии-импульса связано с инвариантностью действия относительно "калибровочных" координатных преобразований.

У Ландау-Лифшица как раз это и написано: там показано, что если генератором однопараметрической группы диффеоморфизмов в "момент времени" $\lambda=0$ является векторное поле $\xi$ (то есть $\xi(x) = \dfrac{\partial}{\partial\lambda}\Big |_{\lambda=0} \varphi_{\lambda}(x)$ для любой точки $x$), то генератором изменения метрики $g^{ik}$ является тензорное поле $\xi^{i;k}+\xi^{k;i}$, то есть $\dfrac{\partial}{\partial\lambda}\Big |_{\lambda=0}\left((\varphi_{\lambda*}g^{ik})(x)\right)=\xi^{i;k}(x)+\xi^{k;i}(x)$. И дальше всё считается примерно как в теореме Нётер.