Доказать существование и единственность решения

[hollo]

уравнения $f(x)=-1\int\limits_{0}^{1}\frac{f(y)e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}}+\frac{x}{6}$
на пространстве $C=[0,1]$ с метрикой $\rho(f,g)=\max\limits_{a\leqslant x \leqslant b}\left\lvert f(x)-g(x) \right\rvert$.
Начал делать:
$\rho(f,g)=\max\limits_{a\leqslant x \leqslant b} \left\lvert -1\int\limits_{0}^{1}\frac{f(y)e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}}+\frac{x}{6}+\int\limits_{0}^{1}\frac{g(y)e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}}-\frac{x}{6}\right\rvert=\max\limits_{a\leqslant x \leqslant b}\left\lvert \int\limits_{0}^{1}\frac{g(y)e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}} - \int\limits_{0}^{1}\frac{f(y)e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}} \right\rvert= \max\limits_{a\leqslant x \leqslant b} \left\lvert \int\limits_{0}^{1}\frac{e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}}(g(y)-f(y)) \right\rvert $
И на этом пока остановился. Как дальше провести оценку?

[thething]

Занести модуль под знак интеграла и воспользоваться свойством $\left\lvert x(t)\right\rvert\leqslant \max\limits_{a\leqslant t\leqslant b} \left\lvert x(t)\right\rvert$

Кстати, интегрирование должно вестись по переменной $y$ и дифференциал надо бы вынести из-под корня

-- 18.04.2018, 20:20 --

А вот дальнейший интеграл мне уже не нравится. Сам по себе он неберущийся, а если оценивать, то вроде как получается больше 1

[hollo]

thething в сообщении #1305349 писал(а):

Занести модуль под знак интеграла и воспользоваться свойством $\left\lvert x(t)\right\rvert\leqslant \max\limits_{a\leqslant t\leqslant b} \left\lvert x(t)\right\rvert$

Получается так?

$\leqslant \max\limits_{a\leqslant x \leqslant b} \int\limits_{0}^{1} \left\lvert \frac{e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}}(g(y)-f(y)) \right\rvert \leqslant \max\limits_{a\leqslant x \leqslant b} \int\limits_{0}^{1} \left\lvert \frac{e^{x+y^{3}-2}}{x+\sqrt[3]{x+y^2 dx}}\right\rvert\max\limits_{a\leqslant x\leqslant b}\left\lvert(g(y)-f(y))\right\rvert $

[thething]

Максимум под интегралом берется по $y$. И поставьте правильно дифференциал.

[hollo]

thething в сообщении #1305355 писал(а):

Максимум под интегралом берется по $y$. И поставьте правильно дифференциал.

Если честно, даже не знаю, как его вынести

[thething]

hollo
Ну очевидная опечатка же и должен быть именно $dy$

[hollo]

(Оффтоп)

thething
Блин

(Оффтоп)

thething в сообщении #1305349 писал(а):

А вот дальнейший интеграл мне уже не нравится. Сам по себе он неберущийся, а если оценивать, то вроде как получается больше 1

В интеграле скорее всего тоже есть ошибка

[Someone]

hollo, каким образом $dx$, который на самом деле $dy$, попал под знак квадратного корня в знаменателе подынтегральной функции?

[hollo]

Someone
По невнимательности скорее всего