2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Игра с кучками камней
Сообщение17.04.2018, 17:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5347
Есть $n$ камней распеделённых по $k>1$ непустым кучкам, а сами кучки расположены по кругу. Таким образом, у каждой кучки есть две соседние.
Игра состоит в последовательности ходов. На каждом ходе выбирается случайно и равномерно одна кучка, и один камень из неё перекладывается в случайно выбранную соседнюю кучку. Если исходная кучка при этом становится пустой, то она исчезает, и игра продолжается с оставшимися $k-1$ кучками на круге.
Игра заканчивается, когда остаётся ровно одна кучка.

Найдите мат. ожидание количества ходов в такой игре, если в начальном расположении количества камней в кучках по кругу равны $x_1$, ..., $x_k$ (с условием $x_1+\dots+x_k=n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с кучками камней
Сообщение21.04.2018, 14:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1877
$S_2(x_1,...,x_k)$ - второй симметрический.
Индукция, однако:
База $n=2$ явно проверяется в соответствии с формулой полной вероятности
Шаг: пишем рек. формулу; счастливым образом, появление нулей среди $x_i$-х не мешает работать угаданной формуле...
Ну, замечательная задача: так редко удается получать явные ответы!

-- 21.04.2018, 16:30 --

И вдвойне неожиданно, что от порядка следования чисел ответ не зависит!

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра с кучками камней
Сообщение21.04.2018, 15:57 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5347
DeBill, всё верно!
Источник задачи: https://mathoverflow.net/q/296418
Говорят, что тот же ответ обобщается на произвольные регулярные связные графы (на кучках-вершинах).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group