2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 17:24 
Аватара пользователя


03/08/14
665
Важнее не это
Эквивалентность, это как равенство, тождество, или что?

Если это что-то сложнее, то нужны простые наглядные примеры демонстрирующие отличия от равенства и т.п. На уровне обывателя. Желательно с конкретными числами.
Примеры вот для такого выражения:
$A \Leftrightarrow B \rightleftharpoons (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)$

Хотелось бы увидеть примеры наподобие такого примера для импликации (или логического следования, если есть разница):
$16 \Rightarrow$ делится без остатка на $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1823
Москва
Вот Вам на уровне обывателя. Вы можете считать эквивалентными все пятницы в году, хотя вроде бы всё это разные дни.

А если получше чуть-чуть эквивалентность - это рефлексивность плюс симметричность плюс транзитивность:
$$a\sim a, a\sim b \Rightarrow b\sim a; a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 17:45 
Аватара пользователя


03/08/14
665
Важнее не это
Metford в сообщении #1305114 писал(а):
А если получше чуть-чуть эквивалентность - это рефлексивность плюс симметричность плюс транзитивность:
$$a\sim a, a\sim b \Rightarrow b\sim a; a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c$$
Т.е. это таки синоним слова тождество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1823
Москва
Нет. Тождество - частный случай эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 18:13 


05/09/16
3183
AAA1111 в сообщении #1305113 писал(а):
На уровне обывателя.
Один доллар эквивалентен по "покупательной способности" 60 рублям. Но не равен и не тождественно равен.
Один биг мак эквивалентен по "пищевой энергетической ценности" 510 ккал, но не равен им.
Числа 4 и 2 эквивалентны по четности, но 4 не равно 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1731
Metford в сообщении #1305114 писал(а):
эквивалентность - это рефлексивность плюс симметричность плюс транзитивность

Помимо определения эквивалентности полезно иметь в виду следующий факт: задать отношение эквивалентности на множестве - это то же самое, что разбить его на подмножества (классы эквивалентности). Отсюда следует, что эквивалентными (в определённом смысле) могут быть какие угодно элементы заданного множества. И искать между ними какую-то "одинаковость" - занятие малоосмысленное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11551
Казань
Мне кажется, в исходном посте есть путаница между понятиями "эквивалентные высказывания" и "эквивалентность" как частный случай отношения заданного на множестве.
AAA1111 в сообщении #1305113 писал(а):
Хотелось бы увидеть примеры наподобие такого примера для импликации (или логического следования, если есть разница):
$16 \Rightarrow$ делится без остатка на $4$.

Ну вот, упоминается импликация... Хотя приведенный пример не имеет никакого смысла, даже если учитывать, что он "на уровне обывателя"

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 20:18 
Аватара пользователя


03/08/14
665
Важнее не это
provincialka в сообщении #1305140 писал(а):
Хотя приведенный пример не имеет никакого смысла, даже если учитывать, что он "на уровне обывателя"
Не понимаю почему не имеет смысла?
А если так:
$(A = 16) \Rightarrow$ $A$ делится без остатка на $4$.
То лучше?
Подскажите, пожалуйста, как надо записать похожий пример так, чтобы появился смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1823
Москва
AAA1111 в сообщении #1305150 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как надо записать похожий пример так, чтобы появился смысл.


А вот, как Mihr сказал: есть четыре класса натуральных чисел по отношению к делению на 4 - в зависимости от остатка при делении на 4. Принадлежащие к одному такому классу числа можно в данном контексте считать эквивалентными. Правда, я не уверен, что этот пример много даст...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 21:28 


05/08/17
10
вообще про разбиение на классы тут говорили

например, говорят, что число есть класс эквивалентности равномощных множеств
т.е. если, например, взять все множества в которых 5 элементов, то это и будет число 5
по другому: число 5 - это то общее, что есть во всех пятиэлементных множествах

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение17.04.2018, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11551
Казань
AAA1111 в сообщении #1305150 писал(а):
$(A = 16) \Rightarrow$ $A$ делится без остатка на $4$.
Так лучше, потому что знак $\Rightarrow$ связывает два высказывания. А вот $16$ -- не высказывание.

Так все-таки что вы понимаете под "эквивалентностью"?

Есть логическая операция "эквиваленция", которая из двух высказываний создает третье, вида $A\Leftrightarrow B$

Есть равносильность высказываний, например "Число нечетное тогда и только тогда, когда квадрат его нечетный".

И есть эквивалетность произвольных объектов (не высказываний). Ее ещё можно назвать "взаимозаменяемостью"... или совпадением в существенных аспектах. Математической формализацией этого свойства является отношение эквивалентности, применяемое к элементам множества. Оно записывается обычно в виде $a\sim b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение18.04.2018, 08:50 
Аватара пользователя


03/08/14
665
Важнее не это
provincialka в сообщении #1305174 писал(а):
Так все-таки что вы понимаете под "эквивалентностью"?
Первоначально я написал эквиваленция. Но текстовый редактор этого форума почему-то не знает такого слова. Он предложил добавить его в словарь.
Но я не посмел. :-) Решил, что не достаточно умён, чтобы пополнять словарь на этом научном форуме.
И что если этого слова здесь нет, значит так оно и надо, значит оно не достаточно научно и что вместо него нужно применять иное слово.
Поэтому заменил его похожим, а именно эквивалентностью.
Но чуя, что из-за этого могут возникнуть какие-то недоразумения, привёл ещё и формульное выражение того, что имел ввиду.
Т.е. речь похоже таки про эквиваленцию.

Я тут соорудил пример который мне нужен. Но не уверен что он правильный.
(Сегодня пятница $\Rightarrow$ Через семь суток будет пятница) $\wedge$ (Через семь суток будет пятница $\Rightarrow$ Сегодня пятница)
Обозначив "Сегодня пятница" через А, "Через семь суток будет пятница" через В, получим:
$((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)) = (A \Leftrightarrow B)$
Т.е. получается эквиваленция? Такое подходит в качестве примера (обывательского уровня) для эквиваленции?

provincialka в сообщении #1305174 писал(а):
Есть равносильность высказываний, например "Число нечетное тогда и только тогда, когда квадрат его нечетный".
И чем отличается равносильность высказываний от эквиваленции я тоже не понял. Ведь для моего примера тоже можно сказать, что "Сегодня пятница тогда и только тогда, когда через семь суток будет пятница".
Т.е. выражения "тогда, и только тогда" и "необходимо и достаточно" выражают одно и то же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение18.04.2018, 09:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11551
Казань
AAA1111 в сообщении #1305214 писал(а):
выражения "тогда, и только тогда" и "необходимо и достаточно" выражают одно и то же?
Да.

Что касается разницы между эквиваленцией и равносильностью, то она не обывательском уровне, пожалуй. Эквиваленция - это операция алгебры логики, она из высказываний $A$ и $B$ строит новое высказывание $A\Leftrightarrow B$, которое может быть как истинным, так и ложным. А равносильное преобразование -- это содержательная операция, грубо говоря, в этом случае можно объяснить почему высказывания/соотношения равносильны. И, конечно, равносильность не может быть ложной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение18.04.2018, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
1731
AAA1111 в сообщении #1305214 писал(а):
Т.е. получается эквиваленция?

Такая конъюнкция двух импликаций действительно равносильна эквиваленции.
AAA1111 в сообщении #1305214 писал(а):
И чем отличается равносильность высказываний от эквиваленции я тоже не понял.

При общепринятом употреблении понятий термин "эквиваленция" относится к предметному языку, то есть, языку, изучаемому матлогикой. А понятие "равносильность высказываний" относится к метаязыку - неформальному языку, на котором ведётся рассуждение о предметном языке. Таким образом, результат эквиваленции (как и любой другой логической операции) может быть истинным или ложным. А вот если мы говорим, что две формулы алгебры логики равносильны, то собственное утверждение подразумеваем безусловно истинным. (Хотя, конечно, мы можем и ошибиться, но это уже другой вопрос :-) ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое эквивалентность?
Сообщение18.04.2018, 09:18 
Аватара пользователя


03/08/14
665
Важнее не это
Ура!
Спасибо всем огромное за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group