Что такое эквивалентность?

[AAA1111]

Эквивалентность, это как равенство, тождество, или что?

Если это что-то сложнее, то нужны простые наглядные примеры демонстрирующие отличия от равенства и т.п. На уровне обывателя. Желательно с конкретными числами.
Примеры вот для такого выражения:
$A \Leftrightarrow B \rightleftharpoons (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)$

Хотелось бы увидеть примеры наподобие такого примера для импликации (или логического следования, если есть разница):
$16 \Rightarrow$ делится без остатка на $4$.

[Metford]

Вот Вам на уровне обывателя. Вы можете считать эквивалентными все пятницы в году, хотя вроде бы всё это разные дни.

А если получше чуть-чуть эквивалентность - это рефлексивность плюс симметричность плюс транзитивность:

$$a\sim a, a\sim b \Rightarrow b\sim a; a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c$$

[AAA1111]

Metford в сообщении #1305114 писал(а):

А если получше чуть-чуть эквивалентность - это рефлексивность плюс симметричность плюс транзитивность:

$$a\sim a, a\sim b \Rightarrow b\sim a; a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c$$

Т.е. это таки синоним слова тождество?

[Metford]

Нет. Тождество - частный случай эквивалентности.

[wrest]

AAA1111 в сообщении #1305113 писал(а):

На уровне обывателя.

Один доллар эквивалентен по "покупательной способности" 60 рублям. Но не равен и не тождественно равен.
Один биг мак эквивалентен по "пищевой энергетической ценности" 510 ккал, но не равен им.
Числа 4 и 2 эквивалентны по четности, но 4 не равно 2.

[Mihr]

Metford в сообщении #1305114 писал(а):

эквивалентность - это рефлексивность плюс симметричность плюс транзитивность

Помимо определения эквивалентности полезно иметь в виду следующий факт: задать отношение эквивалентности на множестве - это то же самое, что разбить его на подмножества (классы эквивалентности). Отсюда следует, что эквивалентными (в определённом смысле) могут быть какие угодно элементы заданного множества. И искать между ними какую-то "одинаковость" - занятие малоосмысленное.

[provincialka]

Мне кажется, в исходном посте есть путаница между понятиями "эквивалентные высказывания" и "эквивалентность" как частный случай отношения заданного на множестве.

AAA1111 в сообщении #1305113 писал(а):

Хотелось бы увидеть примеры наподобие такого примера для импликации (или логического следования, если есть разница):
$16 \Rightarrow$ делится без остатка на $4$.

Ну вот, упоминается импликация... Хотя приведенный пример не имеет никакого смысла, даже если учитывать, что он "на уровне обывателя"

[AAA1111]

provincialka в сообщении #1305140 писал(а):

Хотя приведенный пример не имеет никакого смысла, даже если учитывать, что он "на уровне обывателя"

Не понимаю почему не имеет смысла?
А если так:
$(A = 16) \Rightarrow$ $A$ делится без остатка на $4$.
То лучше?
Подскажите, пожалуйста, как надо записать похожий пример так, чтобы появился смысл.

[Metford]

AAA1111 в сообщении #1305150 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как надо записать похожий пример так, чтобы появился смысл.

А вот, как Mihr сказал: есть четыре класса натуральных чисел по отношению к делению на 4 - в зависимости от остатка при делении на 4. Принадлежащие к одному такому классу числа можно в данном контексте считать эквивалентными. Правда, я не уверен, что этот пример много даст...

[Papazol]

вообще про разбиение на классы тут говорили

например, говорят, что число есть класс эквивалентности равномощных множеств
т.е. если, например, взять все множества в которых 5 элементов, то это и будет число 5
по другому: число 5 - это то общее, что есть во всех пятиэлементных множествах

[provincialka]

AAA1111 в сообщении #1305150 писал(а):

$(A = 16) \Rightarrow$ $A$ делится без остатка на $4$.

Так лучше, потому что знак $\Rightarrow$ связывает два высказывания. А вот $16$ -- не высказывание.

Так все-таки что вы понимаете под "эквивалентностью"?

Есть логическая операция "эквиваленция", которая из двух высказываний создает третье, вида $A\Leftrightarrow B$

Есть равносильность высказываний, например "Число нечетное тогда и только тогда, когда квадрат его нечетный".

И есть эквивалетность произвольных объектов (не высказываний). Ее ещё можно назвать "взаимозаменяемостью"... или совпадением в существенных аспектах. Математической формализацией этого свойства является отношение эквивалентности, применяемое к элементам множества. Оно записывается обычно в виде $a\sim b$.

[AAA1111]

provincialka в сообщении #1305174 писал(а):

Так все-таки что вы понимаете под "эквивалентностью"?

Первоначально я написал эквиваленция. Но текстовый редактор этого форума почему-то не знает такого слова. Он предложил добавить его в словарь.
Но я не посмел. Решил, что не достаточно умён, чтобы пополнять словарь на этом научном форуме.
И что если этого слова здесь нет, значит так оно и надо, значит оно не достаточно научно и что вместо него нужно применять иное слово.
Поэтому заменил его похожим, а именно эквивалентностью.
Но чуя, что из-за этого могут возникнуть какие-то недоразумения, привёл ещё и формульное выражение того, что имел ввиду.
Т.е. речь похоже таки про эквиваленцию.

Я тут соорудил пример который мне нужен. Но не уверен что он правильный.
(Сегодня пятница $\Rightarrow$ Через семь суток будет пятница) $\wedge$ (Через семь суток будет пятница $\Rightarrow$ Сегодня пятница)
Обозначив "Сегодня пятница" через А, "Через семь суток будет пятница" через В, получим:
$((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)) = (A \Leftrightarrow B)$
Т.е. получается эквиваленция? Такое подходит в качестве примера (обывательского уровня) для эквиваленции?

provincialka в сообщении #1305174 писал(а):

Есть равносильность высказываний, например "Число нечетное тогда и только тогда, когда квадрат его нечетный".

И чем отличается равносильность высказываний от эквиваленции я тоже не понял. Ведь для моего примера тоже можно сказать, что "Сегодня пятница тогда и только тогда, когда через семь суток будет пятница".
Т.е. выражения "тогда, и только тогда" и "необходимо и достаточно" выражают одно и то же?

[provincialka]

AAA1111 в сообщении #1305214 писал(а):

выражения "тогда, и только тогда" и "необходимо и достаточно" выражают одно и то же?

Да.

Что касается разницы между эквиваленцией и равносильностью, то она не обывательском уровне, пожалуй. Эквиваленция - это операция алгебры логики, она из высказываний $A$ и $B$ строит новое высказывание $A\Leftrightarrow B$, которое может быть как истинным, так и ложным. А равносильное преобразование -- это содержательная операция, грубо говоря, в этом случае можно объяснить почему высказывания/соотношения равносильны. И, конечно, равносильность не может быть ложной.

[Mihr]

AAA1111 в сообщении #1305214 писал(а):

Т.е. получается эквиваленция?

Такая конъюнкция двух импликаций действительно равносильна эквиваленции.

AAA1111 в сообщении #1305214 писал(а):

И чем отличается равносильность высказываний от эквиваленции я тоже не понял.

При общепринятом употреблении понятий термин "эквиваленция" относится к предметному языку, то есть, языку, изучаемому матлогикой. А понятие "равносильность высказываний" относится к метаязыку - неформальному языку, на котором ведётся рассуждение о предметном языке. Таким образом, результат эквиваленции (как и любой другой логической операции) может быть истинным или ложным. А вот если мы говорим, что две формулы алгебры логики равносильны, то собственное утверждение подразумеваем безусловно истинным. (Хотя, конечно, мы можем и ошибиться, но это уже другой вопрос ).

[AAA1111]

Ура!
Спасибо всем огромное за помощь.