2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение17.04.2018, 14:44 


16/09/17
33
СПБПУ Петра Великого
Итак, приветствую всех, прошу помощи. Вот такое задание дали на первом курсе по матану:
Решить с помощью В-функции и Г-функции (для этого подкорректировать пределы интегрирования):
$$\int\limits_0^5\frac{dx}{(25+x^2)\cdot \sqrt{25+x^2}}$$
Мои шаги (на пределы пока что забил):
$\int\frac{dx}{(25+x^2)^{3/2}}=\int \frac{dx}{(25)^{3/2} \left(1+\frac{x^2}{25}\right)^{3/2}}=(*)$
Сделаем замену: $\frac{x^2}{25}=t \Rightarrow x=5\sqrt{t}$. Тогда $\frac{2}{25}xdx \Rightarrow dx=\frac{25}{2} \frac{dt}{x}$. Получаем
$$(*)=\frac{1}{50}\int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} \cdot \sqrt{t}}$$
Ну и собственно вот, я в тупике. Ведь по идее для В-функции перед $t$ должен быть минус. Пробовал заменять $\frac{x^2}{25}=-t$, но тогда, во-первых, под корнем будет число с минусом, когда выражаем отсюда $x$, а во-вторых, тогда минус появляется уже там, где он не нужен.
Пожалуйста, подскажите, что делать

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение17.04.2018, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
784
Арктика
Интересно, зачем здесь бета-функция, особенно на первом курсе, если Эйлерова подстановка $\sqrt{x^2+25}=t-x$ решает проблему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение17.04.2018, 20:16 


16/09/17
33
СПБПУ Петра Великого
thething в сообщении #1305134 писал(а):
Интересно, зачем здесь бета-функция, особенно на первом курсе, если Эйлерова подстановка $\sqrt{x^2+25}=t-x$ решает проблему?

Потому что вот такой преподаватель. Задание было решить тремя способами: двумя любыми и один обязательно бета-функцией. Двумя я уже решил, а этим - пока не могу

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение17.04.2018, 22:49 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
Докажите, что при определенных предположениях относительно $a$ и $b$
$$
\int_0^{\infty } \frac{dt}{t^a (1+t)^b} =B(1-a,a+b-1).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение18.04.2018, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Интеграл ведь будет от $0$ до $+\infty$, а не до $5$?
Такие пределы имеют интересную особенность: если $t$ меняется от $0$ до $+\infty$, то $1/t$ от $+\infty$ до $0$, а $\frac1{1+t}$ -- от $1$ до $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение18.04.2018, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
784
Арктика
nortonouls
Можно использовать второе определение бета функции $B(x,y)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{s^{x-1}}{(1+s)^{x+y}}ds$. Из исходного определения бета функции $B(x,y)=\int\limits_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ данное получится, если выполнить замену $t=\frac{s}{1+s}$

Вам надо так подкорректировать пределы, чтобы в итоге вот тут
nortonouls в сообщении #1305089 писал(а):
Получаем
$$(*)=\frac{1}{50}\int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} \cdot \sqrt{t}}$$

получились нужные пределы от 0 до $\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл с помощью бета и гамма функции
Сообщение18.04.2018, 19:45 


16/09/17
33
СПБПУ Петра Великого
Всем спасибо, получилось!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group