2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение17.04.2018, 00:36 


29/12/12
47
На плоскости расположены параллелограммы $A_iB_iC_iD_i$. Пусть $A$ - центр тяжести множества точек $A_i$ и аналогично определим точки $B, C, D\,  (i = 1\dots n)$.
Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм.

(Оффтоп)

Есть ещё один класс четырёхугольников в чём-то аналогичный параллелограммам. Это четырёхугольники, диагонали которых равны и перпендикулярны. Было бы справедливо называть их диагонограммами.
Аналогия проявляется, в частности, в том, что утверждение, сформулированное в топике остаётся справедливым, если заменить "параллелограмм" на "диагонограмм". Только надо добавить, что все диагонограммы одинаково ориентированы.

И ещё. Поскольку квадрат является одновременно и параллелограммом и диагонограммом, то конструкция из одинаково ориентированных квадратов порождает квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение17.04.2018, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13216
с Территории
Первое понятно. Параллелограмм - это $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, ну и другая пара тоже. Если у двух сумм равны все слагаемые, то равны и сами суммы.
Про диагонограммы опустим, потому что сии вещи не входят в круг моих понятий. А квадраты-то зачем одинаково ориентировать? В любых ориентациях из них получится квадрат же.

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение17.04.2018, 15:35 


29/12/12
47
ИСН в сообщении #1305039 писал(а):

Про диагонограммы опустим, потому что сии вещи не входят в круг моих понятий. А квадраты-то зачем одинаково ориентировать? В любых ориентациях из них получится квадрат же.


Вы ошибаетесь, для квадратов ориентация важна.
Убедиться в этом можно, построив пару квадратов на клетчатой бумаге. Центры тяжести - середины соответствующих отрезков и всё становится очевидным.

(Оффтоп)

$\frac{A_1B_1C_1D_1 + A_2B_2C_2D_2}{2} = \frac{[2,0][0,6][6,8][8,2] + [12,14][12,6][20,6][20,14]}{2} = [7,7][6,6][13,7][14,8]$

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение17.04.2018, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13216
с Территории
Смотря что понимать под ориентацией. Если только повороты, то не важна. Если ещё и нумеровать их в разную сторону (по часовой стрелке или против) - тогда, конечно, другое дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение18.04.2018, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66784
ИСН
Ориентация - это то, что сохраняется параллельными переносами и поворотами, но нарушается (меняется на противоположную) зеркальным отражением.

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение18.04.2018, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7550
Можно взять два одинаково ориентированных квадрата, повернуть их на 180 относительно друг друга. Тогда средние арифметические вершин лягут на одну прямую.

(Или вообще в одну точку,)

Вложение:
quads.png
quads.png [ 17.74 Кб | Просмотров: 0 ]


Видимо, под ориентацией ТС понимает что-то другое, раз говорит, что при сохранении её должен получиться квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение18.04.2018, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13216
с Территории
Нет никакого "или". Они лягут именно в одну точку, а точка - это вырожденный квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение18.04.2018, 23:25 


07/06/17
319
...

 Профиль  
                  
 
 Re: а сейчас - много параллелограммов.
Сообщение20.04.2018, 01:35 


29/12/12
47
Dan B-Yallay в сообщении #1305359 писал(а):
Можно взять два одинаково ориентированных квадрата, повернуть их на 180 относительно друг друга. Тогда средние арифметические вершин лягут на одну прямую.

(Или вообще в одну точку,)

Вложение:
quads.png


Видимо, под ориентацией ТС понимает что-то другое, раз говорит, что при сохранении её должен получиться квадрат.


Под ориентацией понимается направление обхода контура фигуры - по часовой стрелке или против. Другого смысла этого понятия для плоскости я не знаю. Как уже заметил ИСН выше, вырождение квадрата в точку не противоречит утверждению.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group