а сейчас - много параллелограммов.

[DrVirogov]

На плоскости расположены параллелограммы $A_iB_iC_iD_i$. Пусть $A$ - центр тяжести множества точек $A_i$ и аналогично определим точки $B, C, D\, (i = 1\dots n)$.
Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм.

(Оффтоп)

Есть ещё один класс четырёхугольников в чём-то аналогичный параллелограммам. Это четырёхугольники, диагонали которых равны и перпендикулярны. Было бы справедливо называть их диагонограммами.
Аналогия проявляется, в частности, в том, что утверждение, сформулированное в топике остаётся справедливым, если заменить "параллелограмм" на "диагонограмм". Только надо добавить, что все диагонограммы одинаково ориентированы.

И ещё. Поскольку квадрат является одновременно и параллелограммом и диагонограммом, то конструкция из одинаково ориентированных квадратов порождает квадрат.

[ИСН]

Первое понятно. Параллелограмм - это $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, ну и другая пара тоже. Если у двух сумм равны все слагаемые, то равны и сами суммы.
Про диагонограммы опустим, потому что сии вещи не входят в круг моих понятий. А квадраты-то зачем одинаково ориентировать? В любых ориентациях из них получится квадрат же.

[DrVirogov]

ИСН в сообщении #1305039 писал(а):

Про диагонограммы опустим, потому что сии вещи не входят в круг моих понятий. А квадраты-то зачем одинаково ориентировать? В любых ориентациях из них получится квадрат же.

Вы ошибаетесь, для квадратов ориентация важна.
Убедиться в этом можно, построив пару квадратов на клетчатой бумаге. Центры тяжести - середины соответствующих отрезков и всё становится очевидным.

(Оффтоп)

$\frac{A_1B_1C_1D_1 + A_2B_2C_2D_2}{2} = \frac{[2,0][0,6][6,8][8,2] + [12,14][12,6][20,6][20,14]}{2} = [7,7][6,6][13,7][14,8]$

[ИСН]

Смотря что понимать под ориентацией. Если только повороты, то не важна. Если ещё и нумеровать их в разную сторону (по часовой стрелке или против) - тогда, конечно, другое дело.

[Munin]

ИСН
Ориентация - это то, что сохраняется параллельными переносами и поворотами, но нарушается (меняется на противоположную) зеркальным отражением.

[Dan B-Yallay]

Можно взять два одинаково ориентированных квадрата, повернуть их на 180 относительно друг друга. Тогда средние арифметические вершин лягут на одну прямую.

(Или вообще в одну точку,)

Вложение:

quads.png

Видимо, под ориентацией ТС понимает что-то другое, раз говорит, что при сохранении её должен получиться квадрат.

[ИСН]

Нет никакого "или". Они лягут именно в одну точку, а точка - это вырожденный квадрат.

[Booker48]

...

[DrVirogov]

Dan B-Yallay в сообщении #1305359 писал(а):

Можно взять два одинаково ориентированных квадрата, повернуть их на 180 относительно друг друга. Тогда средние арифметические вершин лягут на одну прямую.

(Или вообще в одну точку,)

Вложение:

quads.png

Видимо, под ориентацией ТС понимает что-то другое, раз говорит, что при сохранении её должен получиться квадрат.

Под ориентацией понимается направление обхода контура фигуры - по часовой стрелке или против. Другого смысла этого понятия для плоскости я не знаю. Как уже заметил ИСН выше, вырождение квадрата в точку не противоречит утверждению.