2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 21:18 


14/09/16
80
возникли вопросы как решить следующее дифференциальное уравнение
$y'''+y''=x^2 -4 + e^{-x} \cos(x)$
я составил характеристическое уравнение, нашел корни.
но проблема с правой частью
я смотрел эльсгольца, матвеева и другие учебники.
но проблема с $e^{-x} \cos(x)$
я после быстрого просмотре не увидел похожего примера.
корни характеристического уравнения будут
$k=0 $ кратности 2.
$k=-1$
так же , если я правильно понимаю, мы ищем решение в виде $Ax^2+Bx+C$ для слагаемого $x^2-4$
и надо домножить на $x ^3$ (если у нас производная третьего порядка и получается $x^2$ )?
а для $e^{-x} \cos(x)$ ищем решение $e^{-x}(A \sin(x)+ B \cos(x))$ домноженная на x?
если были похожие примеры дайте ссылку, чтобы можно было сделать по аналогии, или посоветуйте литературу в которой рассмотрена такая правая часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6944
Заменой $u = y''$ вроде сводится к простому ОДУ первого порядка, решаемое с помощью интегрирующего множителя.
Ну и затем интеграл 2 раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 21:31 
Заслуженный участник


10/01/16
1581
Ivan 09
Ну, в Ваших учебниках наверняка все должно быть, однако...
Ivan 09 в сообщении #1304906 писал(а):
надо домножить на $x ^3$

Нет, надо домножить на "икс в тепени кратность корня", а она равна ?
Ivan 09 в сообщении #1304906 писал(а):
а для $e^{-x} \cos(x)$ ищем решение $e^{-x}(A \sin(x)+ B \cos(x))$ домноженная на x?

Нет, надо домножить на "икс в тепени кратность корня", а она равна 0 (потому как нет у Вас корня $-1+i$)

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 21:50 


14/09/16
80
DeBill спасибо вам, я так понимаю
Она у меня кратности 2, то есть домножить на $x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 23:05 


14/09/16
80
у меня остался один вопрос.
мой ответ отличается от правильного только одним слагаемым $\frac{1}{12}$ нет
$y(x)=C_3+\frac{1}{12}C_1 e^{-x}+C_2+\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{1}{2}e^{-x}\cos(x)$
Почему у $C_1$ множитель $\frac{1}{12}$ ?
с остальным я разобрался

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6944
Ivan 09 в сообщении #1304948 писал(а):
Почему у $C_1$ множитель $\frac{1}{12}$

А чему равен $C_1$ "на самом деле"?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 23:27 


14/09/16
80
там кончено же $C_3 x$
я так понимаю, вы намекаете что это константа и $\frac{1}{12}$ роли не играет. Но тогда почему её выдает компьютер, ему не стоит доверять?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6944
Константа $C_1$ ведь неопределённая, поэтому её можно умножать/делить на любое число (кроме нуля). Почему компьютер выдаёт 1/12 - не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 23:39 


14/09/16
80
Dan B-Yallay
спасибо, я разобрался с этим примером

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение 3-го порядка с спец пр частью
Сообщение16.04.2018, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6944
$y(x)=...+\frac{1}{12}C_1 e^{-x} .... \frac{x^4}{12}...$
Возможно, как-то были связаны в процессе вычислений и так и осталось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group