Проблема Штейнгауза и парабола

[scwec]

На плоскости с декартовыми координатами $x,y$ заданы единичный квадрат с вершинами $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$ и парабола $y=x^2$.
Докажите, что на этой параболе не найдется точки, все четыре расстояния от которой до вершин единичного квадрата - рациональные числа.

[scwec]

В дополнение.
Докажите также, что на указанной параболе существуют только две точки, три расстояния от каждой из которых до вершин единичного квадрата - рациональные числа.

[Andrey A]

Предположим точка $x$ существует. Четыре воображаемых отрезка делят квадрат на четыре треугольника с рациональными сторонами. Площади треугольников выражаются в радикалах и могут дать в сумме единицу только, если под радикалами рациональные квадраты, т.е. треугольники героновы. Значит координаты точки $x$ тоже рациональны (видимо это и подразумевалось). Диагональ квадрата длиной $\sqrt{2}$ делит его на два треугольника площадью $\frac{1}{2}$. Площадь треугольника, образованного диагональю и парой воображаемых отрезков ($\sqrt{2},x_1,x_3$), также рациональна ($s_{1,2}+s_{2,3}-\frac{1}{2}$). Для такого треугольника имеется общее 3-х параметрическое решение:

$$x_{1,3}=\dfrac{a^2+2}{4a}\pm \dfrac{((b-1)^2-2)((c-1)^2-2)}{((b+1)(c+1)-2)^2+((b-1)(c-1)+2)^2}$$

Хотя, отрезки тут не обязательно укладываются в квадрат, наверное это касается более общей задачи. Можно ведь взять пару диагоналей за оси координат, и рассматривать всё под углом 45 градусов. Это пока безотносительно к параболе, просто интересная ситуация сама по себе. Отрезки $x_{2,4}$ должны иметь подобное выражение относительно другой диагонали.

[scwec]

Всё это интересно, и важно, что координаты точки рациональны, осталось только дать решение.

[Andrey A]

Это да (:

[scwec]

Имеем систему 4 уравнений $x^2+y^2=a^2, (x-1)^2+y^2=b^2, x^2+(y-1)^2=c^2, (x-1)^2+(y-1)^2=d^2$, где $a,b,c,d$ - расстояния от точки плоскости с координатами $x,y$ до вершин единичного квадрата $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$. Из неё видно, что если среди $a,b,c,d$ не менее 3 рациональных чисел, то $x,y$ рациональны.
Подставляем в уравнения $y=x^2$.
Теперь первое утверждение следует из того, что третье уравнение $x^4-x^2+1=c^2$ в рациональных числах имеет решение только при $x=0,\pm{1}$.
А учитывая то, что первое и четвертое уравнения сводятся к системе $x^2+1=v^2, (x+1)^2+1=w^2$, которая не имеет решений в рациональных числах, получаем и второе утверждение.