Нелинейное дифференциальное уравнение

[novichok2018]

Рассмотрим нелинейное уравнение на плоскости

$$ \Delta u(x,y)=\exp(u(x,y)). $$

Оно имеет название? (похожее уравнение со смешанной производной слева вместо оператора Лапласа называется кажется уравнением Лиувилля). Где можно прочитать о методах решения этого уравнения, есть информация по нему?
Интересует именно это уравнение а не похожие.

[thething]

См. Полянин, Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Есть разные варианты Вашего уравнения

[DeBill]

В книжке А.Пуанкаре "Избранные труды", т.3, есть статья "Фуксовы группы и уравнение (Ваше)" 1898-го года. Пуанкаре пишет: "Геттингенское научное общество предложило ... для конкурса уравнение (вот то самое). Задача была решена Пикаром в мемуаре, опубликованном в J. de mat. (1890), к которому позднее добавилась заметка в Compt.rendus, том 116"
Далее, Пуанкаре пишет "...попытаться найти прямое решение $u$. Именно это я и намереваюсь сделать в настоящей работе".
Прошло 120 лет. Задача опять-снова стала актуальной? (мне ее шеф предлагал в качестве дипломной, для решения задачи об униформизации)

[thething]

DeBill

(Оффтоп)

Вот что значит -- дипломная. Даже сквозь года помнишь цитаты из трудов

[DeBill]

thething
Не, не помню. Просто книжка эта у меня на полке стоит, под рукой... А куплена она была в букинисте, да, именно за ради той задачи. Но диплом был все таки другой, не по этой задаче.

[novichok2018]

Спасибо за ссылки, особенно за Пуанкаре. Зайцева я сразу посмотрел, царство небесное Валентину Фёдоровичу.

[пианист]

Ой, какая печальная новость. Светлая память.

По поводу уравнения: насколько помню (смутно), для $u_{xx} + u_{yy} = e^u$ замена то ли такая же как для $u_{xx} - u_{yy} = e^u$, то ли по аналогии пишется.

[pogulyat_vyshel]

novichok2018 в сообщении #1304835 писал(а):

плоскости

$$ \Delta u(x,y)=\exp(u(x,y)). $$

а вы полярных координатах поищите осесимметричное решение $u=u(r)$ это вам даст некоторое весьма предварительное представление о том с чем вы имеете дело

[novichok2018]

Я как раз и рассматриваю радиальные решения. Тогда слева будет оператор Бесселя, но такое одномерное уравнение и со второй производной далеко нетривиально. Там (со второй производной)вроде есть формулы для некоторых решений через эллиптические функции, точные ссылки не вспомнить. С Бесселем ничего не знаю.
Формулы для решения исходного уравнения через пару произвольных аналитических функций-они есть в книгах Зайцев/Полянин и Капцова, они и получаются стандартной комплексной заменой и сведением к гиперболическому уравнению Лиувилля со второй смешанной производной. Только такие формулы трудно применять с пользой для начальных или краевых условий.

[пианист]

Вы скорее всего знаете, но на всякий случай: таким уравнением описывается плоское стационарное течение несжимаемой невязкой жидкости.
Точнее, уравнением $u_{xx} + u_{yy} = f(u)$ с произвольной (приличной) функцией $f$, но, в частности, и $\exp$ годится.