2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение16.04.2018, 17:51 


16/04/18
104
Рассмотрим нелинейное уравнение на плоскости
$$
\Delta u(x,y)=\exp(u(x,y)).
$$
Оно имеет название? (похожее уравнение со смешанной производной слева вместо оператора Лапласа называется кажется уравнением Лиувилля). Где можно прочитать о методах решения этого уравнения, есть информация по нему?
Интересует именно это уравнение а не похожие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение16.04.2018, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
885
Антарктика
См. Полянин, Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Есть разные варианты Вашего уравнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение16.04.2018, 19:00 
Заслуженный участник


10/01/16
1739
В книжке А.Пуанкаре "Избранные труды", т.3, есть статья "Фуксовы группы и уравнение (Ваше)" 1898-го года. Пуанкаре пишет: "Геттингенское научное общество предложило ... для конкурса уравнение (вот то самое). Задача была решена Пикаром в мемуаре, опубликованном в J. de mat. (1890), к которому позднее добавилась заметка в Compt.rendus, том 116"
Далее, Пуанкаре пишет "...попытаться найти прямое решение $u$. Именно это я и намереваюсь сделать в настоящей работе".
Прошло 120 лет. Задача опять-снова стала актуальной? (мне ее шеф предлагал в качестве дипломной, для решения задачи об униформизации)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение16.04.2018, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
885
Антарктика
DeBill

(Оффтоп)

Вот что значит -- дипломная. Даже сквозь года помнишь цитаты из трудов :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение16.04.2018, 19:28 
Заслуженный участник


10/01/16
1739
thething
Не, не помню. Просто книжка эта у меня на полке стоит, под рукой... А куплена она была в букинисте, да, именно за ради той задачи. Но диплом был все таки другой, не по этой задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение16.04.2018, 19:57 


16/04/18
104
Спасибо за ссылки, особенно за Пуанкаре. Зайцева я сразу посмотрел, царство небесное Валентину Фёдоровичу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение17.04.2018, 06:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
772
МО
Ой, какая печальная новость. Светлая память.

По поводу уравнения: насколько помню (смутно), для $u_{xx} + u_{yy} = e^u$ замена то ли такая же как для $u_{xx} - u_{yy} = e^u$, то ли по аналогии пишется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение17.04.2018, 08:51 
Аватара пользователя


31/08/17
921
novichok2018 в сообщении #1304835 писал(а):
плоскости
$$
\Delta u(x,y)=\exp(u(x,y)).
$$


а вы полярных координатах поищите осесимметричное решение $u=u(r)$ это вам даст некоторое весьма предварительное представление о том с чем вы имеете дело

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение17.04.2018, 09:00 


16/04/18
104
Я как раз и рассматриваю радиальные решения. Тогда слева будет оператор Бесселя, но такое одномерное уравнение и со второй производной далеко нетривиально. Там (со второй производной)вроде есть формулы для некоторых решений через эллиптические функции, точные ссылки не вспомнить. С Бесселем ничего не знаю.
Формулы для решения исходного уравнения через пару произвольных аналитических функций-они есть в книгах Зайцев/Полянин и Капцова, они и получаются стандартной комплексной заменой и сведением к гиперболическому уравнению Лиувилля со второй смешанной производной. Только такие формулы трудно применять с пользой для начальных или краевых условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нелинейное дифференциальное уравнение
Сообщение17.04.2018, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
772
МО
Вы скорее всего знаете, но на всякий случай: таким уравнением описывается плоское стационарное течение несжимаемой невязкой жидкости.
Точнее, уравнением $u_{xx} + u_{yy} = f(u)$ с произвольной (приличной) функцией $f$, но, в частности, и $\exp$ годится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group