2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Делители, делители
Сообщение16.04.2018, 15:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пусть $n>1$ - натуральное число, $d(n)$ - наименьший делитель $n$, отличный от 1, $D(n)$ - наибольший делитель $n$, отличный от $n$, $\tau(n)$ - количество натуральных делителей числа $n$.

а) Найдите все такие $n$, что $n=d(n)+\tau(n)$

б) Найдите все такие $n$, что $n=D(n)+\tau(n)$

в) Найдите все такие $n$, что $n=D(n)+d(n)+\tau(n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делители, делители
Сообщение19.04.2018, 13:51 


02/04/18
240
Для простого $n$ имеем $d=n$, $D=1$, $\tau=2$. Ясно, что здесь будет только одно решение и только для (б) - $n=3$.
Для составных чисел рассмотрим сначала менее строгую задачу, но более обобщенную: для каких $n$ выполняется $n\leqslant D(n)+d(n)+\tau(n)$? Как выяснится, это довольно ограниченный список чисел, который можно просто перебрать вручную. Все ответы на исходную задачу должны быть решениями и для неравенства.

Если $n$ - нечетное, то $d\geqslant3, D\leqslant n/3, d+D\leqslant 3+n/3$ . Среди делителей $n$ могут встретиться только нечетные числа от 1 до $n/3$, плюс оно само, то есть $\tau\leqslant (n/3+1)/2+1=n/6+3/2$ чисел. Получаем неравенство
$n\leqslant 3+n/3+n/6+3/2=n/6+9/2 \Rightarrow n\leqslant9$. Так как мы рассматриваем из нечетных составных чисел, то подходит только $n=9$, оно удовлетворяет условию (в).

Если $n$ четное, то $d=2, D=n/2$. Пусть $n=2^k N$, где $N$ - нечетное, $k>0$. Множители $n$ - это множители $N$, поочередно домноженные на все степени 2 от 0 до $k$.
Тогда $\tau\leqslant (k+1)(N/6+3/2)$, и решаемое неравенство есть $2^k N \leqslant 2+2^k^-^1 N + (k+1)(N/6+3/2)$. На самом деле, тут надо быть осторожными, поскольку могут возникнуть ложные решения. Но поскольку мы будем проверять все условия руками, то не станем на это отвлекаться.
Или: $(2^k - (k+1)/3)N \leqslant 7+ 3k$; $N\leqslant\frac{7+ 3k}{2^k - (k+1)/3}$
Знаменатель растет быстрее числителя, поэтому достаточно перебрать первые $k$.

$k=1: N\leqslant\frac{7+3}{2 - 2/3}=30/4; N=1, 3, 5, 7; n=2, 6, 10, 14$
$k=2: N\leqslant\frac{7+6}{4 - 1}=13/3; N=1, 3; n=4, 12$
$k=3: N\leqslant\frac{7+9}{8 - 4/3}=2.4; N=1; n=8$
$k=4: N\leqslant\frac{7+12}{16 - 5/3}=1.33..; N=1; n=16$

Отбросив двойку, как простое число, получаем всех составных кандидатов на решение обобщающего неравенства: $n=4, 6, 8, 10, 12, 14, 16$. Перебором находим, что последние два числа не удовлетворяют и неравенству, а из остальных отсеятся 4 и 10, но надо вспомнить о 3 и 9. Строго говоря, подставляя $k=0$, получим $N\leqslant10.5$, то есть ту же оценку, что и раньше - то есть можно было обойтись перебором нечетных $n$ от 1 до 9, пропуская начало решения. Но это было бы менее строго с математической точки зрения.

Ответ:
а) 6
б) 3, 8, 12
в) 9

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group