2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 19:23 


27/03/18
66
Газ с молярной массой $M$ находится под давлением $p$ между двумя одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура газа растёт линейно от $T_1$ у нижней пластины до $T_2$ у верхней. Объём газа между пластинами равен $V$. Найдите его массу.

$pdV=\frac{RT}{M}dm$, $dV=Sdy$;

$dm=\frac{pMS}{RT}dy$;

$T(y)=T_1+\frac{y(T_2-T_1)}{h}$;

$dT=T_1+\frac{(T_2-T_1)}{h}dy$;

$dy=\frac{(dT-T_1)h}{(T_2-T_1)}$;

$m=\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{PShM(dT-T_1)}{TR(T_2-T_1)}$;

Где здесь ошибка? Может быть неправильно $dT$ записал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
TimofeiN в сообщении #1304481 писал(а):
Может быть неправильно $dT$ записал?

Однозначно неправильно. Температура $T_1$ вроде бы константа, нет?
Вообще, нужно настораживаться, когда к дифференциалу прибавляется (или вычитается из него) конечная величина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 19:50 


27/03/18
66
Metford в сообщении #1304484 писал(а):
Однозначно неправильно. Температура $T_1$ вроде бы константа, нет?
Вообще, нужно настораживаться, когда к дифференциалу прибавляется (или вычитается из него) конечная величина.

Меня это насторожило, но ничего лучше на тот момент в голову не пришло. Получается, нужно было записать дифференциал $dT$ без постоянной $T_1$:

$dT=\frac{T_2-T_1}{h}dy$;

Тогда всё сходится.

$m=\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{PShM}{TR(T_2-T_1)}dT=\frac{PVM}{R(T_2-T_1)}\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=\frac{PVM}{R(T_2-T_1)}\cdot \ln\frac{T_2}{T_1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
TimofeiN в сообщении #1304488 писал(а):
Получается, нужно было записать дифференциал $dT$ без постоянной $T_1$

Я так на всякий случай только спрошу, для очистки совести: почему же Вы $T_1$ изначально оставили? Просто по невнимательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 20:09 


27/03/18
66
Metford в сообщении #1304489 писал(а):
Я так на всякий случай только спрошу, для очистки совести: почему же Вы $T_1$ изначально оставили? Просто по невнимательности?

Еще не до конца понимаю запись дифференциалов. Если чисто логически рассуждать, то мы записываем малое изменение температуры $dT$ на очень маленьком отрезке $dy$, $T_1$ постоянная и не влияет ни на что (если я все правильно понимаю). Но наверняка у этого есть и более точное математическое объяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
TimofeiN в сообщении #1304496 писал(а):
Но наверняка у этого есть и более точное математическое объяснение.

Если Вы в институте учитесь - видимо, это так, да? - то Вам срочно нужно прочитать о дифференциале в математической литературе. Если формально говорить, то $dy=y'(x)dx$. Производная константы - нуль, так что в дифференциале она остаться не может. Ваше рассуждение нормальное, но если проделывать его каждый раз, то со временем должно надоесть :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 20:35 


27/03/18
66
Metford в сообщении #1304497 писал(а):
Если формально говорить, то $dy=y'(x)dx$.


$f(x,y)$;

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$;

С этим я знаком, но что-то одна переменная меня немного сбила с пути :-) .

В данном случае дифференциал будет таким?

$f(y)$;

$df=\frac{\partial f}{\partial y}dy$;

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
TimofeiN в сообщении #1304506 писал(а):
С этим я знаком, но что-то одна переменная меня немного сбила с пути :-) .

Странно. Обычно всё-таки начинают с функций одной переменной.
TimofeiN в сообщении #1304506 писал(а):
В данном случае дифференциал будет таким?

$f(y)$;

$df=\frac{\partial f}{\partial y}dy$

Запись плохая. Если функция одного аргумента, то производная не может быть частной, как Вы записали. Правильно так:
$$df=\left(\frac{df}{dy}\right)dy.$$
Скобки я поставил исключительно для отделения производной в записи. Иначе совсем уж тривиально смотрится (потому что, в общем, это простая вещь).

P.S. Всё-таки почитайте математическую литературу :wink: "Курс дифференциального и интегрального счисления" Фихтенгольца, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти массу газа.
Сообщение15.04.2018, 21:47 


27/03/18
66
Metford в сообщении #1304516 писал(а):
Странно. Обычно всё-таки начинают с функций одной переменной.

На лекциях нам многое дают в расчете на то, что мы уже умеем с этим работать, так что приходится гуглить и изучать определенные моменты прямо на лекциях, чтобы сильно не отставать. Вот так и получилось, что с функциями двух переменных я знаком лучше. :roll:
Metford в сообщении #1304516 писал(а):
P.S. Всё-таки почитайте математическую литературу :wink: "Курс дифференциального и интегрального счисления" Фихтенгольца, например.

Почитаю. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group