Пара вопросов про ряды

[hollo]

Скорее всего это одна и та же проблема
1) Разложить в степенной ряд относительно $x$ $\sin^{3} x$
$\sin^{3}(x)= \frac{3\sin(x)- \sin(3x)}{4}=\frac{3}{4}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}-\frac{1}{4}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$
В ответе учебника $\frac{3}{4}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} x^{2n+1}(3^{2n}-1)}{(2n+1)!}$
Не совсем понятно, как занесли под одну сумму

2) $(1+x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x+\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ А что произошло здесь?

[mihaild]

hollo в сообщении #1304135 писал(а):

Не совсем понятно, как занесли под одну сумму

А как получается?
Индекс суммирования одинаковый, ряды сходятся, хотя бы формально оставить один знак суммирования точно должно быть понятно как.

[hollo]

mihaild в сообщении #1304138 писал(а):

Индекс суммирования одинаковый, ряды сходятся, хотя бы формально оставить один знак суммирования точно должно быть понятно как.

Согласен, а почему перед суммой $\frac{3}{4}$?

[thething]

hollo в сообщении #1304141 писал(а):

Согласен, а почему перед суммой $\frac{3}{4}$?

Из $3^{2n+1}$ одну тройку вынесли

-- 14.04.2018, 13:27 --

hollo в сообщении #1304135 писал(а):

А что произошло здесь?

А здесь вообще что-то странное.. Хотя бы потому что ряды некорректно определены

[hollo]

thething

thething в сообщении #1304147 писал(а):

Из $3^{2n+1}$ одну тройку вынесли

Точно!

thething в сообщении #1304147 писал(а):

А здесь вообще что-то странное.. Хотя бы потому что ряды некорректно определены

Ой, это уже "от себя"
На самом деле там
$(1+x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$

[thething]

hollo в сообщении #1304152 писал(а):

На самом деле там
$(1+x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$

Тогда попробуйте развернуть левую часть, раскрыть скобки а потом попытаться представить в виде правой

-- 14.04.2018, 14:12 --

Ну или так: представить левую часть в виде суммы двух рядов, из первой суммы выделить член $x$, затем сделать так, чтобы индексы суммирования опять стали одинаковыми, свернуть в одну сумму и найти общий знаменатель

[hollo]

thething в сообщении #1304153 писал(а):

Ну или так: представить левую часть в виде суммы двух рядов, из первой суммы выделить член $x$, затем сделать так, чтобы индексы суммирования опять стали одинаковыми, свернуть в одну сумму и найти общий знаменатель

Спасибо, разобрался