Простой интеграл

[ipanema]

$$\int_{0}^{6} x^2 \sqrt{6^2-x^2} dx =$$

Замена:

$$x=6\sin(t); t=arcsin{\frac{6}{x}}; t(0) = 0; t(6) = \frac\pi2$$

$$= \int_{0}^{\frac\pi2} 6^2 \sin^2(t) \sqrt{6^2 - 6^2 \sin^2(t)} dt =$$

$$= 6^3 \int_{0}^{\frac\pi2} \sin^2 t \cos t dt =$$

$$= 6^3 \int_{0}^{\frac\pi2} \sin^2 t d(\sin t) =$$

$$= 6^3 \frac{\sin^3 t}{3} |_0^{\frac\pi2} = 72 (1-0) = 72$$

Проверяю себя в maxima:

(%i233) x^2*sqrt(6^2-x^2);
                                2            2
(%o233)                        x  sqrt(36 - x )
(%i234) integrate(%,x,0,6);
(%o234)                             81 %pi

Где я ошибся?

[AD]

Подозреваю, что вы не пересчитали $dx$ во время самой первой замены.

[ipanema]

Точно, спасибо!