2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оператор k и полный момент, непонятная формула.
Сообщение09.04.2018, 21:44 


28/08/13
417
Если ввести, как у Шиффа (44.10) оператор $$\hbar k=\beta(\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}+\hbar),$$ где $\pmb{\sigma}'$ - четырёхрядные блочно-диагональные матрицы с матрицами Паули вдоль главной диагонали, то его квадрат будет
$$\hbar^2k^2=(\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L})^2+2\hbar\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}+\hbar^2,$$ что Шифф переписывает (44.12) как $$\hbar^2k^2=(\mathbf{L}+\frac{1}{2}\hbar\pmb{\sigma}')^2+\frac{1}{4}\hbar^2.$$
Почему так - куда делось одно из слагаемых $\hbar\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}$ и $\frac{1}{2}\hbar^2,$ если раскрыть скобки в последнем выражении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор k и полный момент, непонятная формула.
Сообщение10.04.2018, 00:08 
Заслуженный участник


29/09/14
914
Потому что в выражении

$(\pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L})^2=(\sigma'_xL_x+\sigma'_y L_y+\sigma'_z L_z)^2$

после раскрытия скобок возникают наряду с членами $L_x^2+L_y^2+L_z^2$ ещё и перекрёстные члены. Преобразуя их с помощью коммутационных соотношений для матриц $\sigma'_i,$ а также с помощью коммутационных соотношений для операторов $L_i, $ в итоге получим:

$(\pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L})^2=\mathbf{L}^2-\hbar \, \pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L}.$

Ну и надо также учесть, что

$\pmb{\sigma}' ^2=\sigma'_x^2+\sigma'_y^2+\sigma'_z^2=3.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group