2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оператор k и полный момент, непонятная формула.
Сообщение09.04.2018, 21:44 


28/08/13
327
Если ввести, как у Шиффа (44.10) оператор $$\hbar k=\beta(\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}+\hbar),$$ где $\pmb{\sigma}'$ - четырёхрядные блочно-диагональные матрицы с матрицами Паули вдоль главной диагонали, то его квадрат будет
$$\hbar^2k^2=(\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L})^2+2\hbar\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}+\hbar^2,$$ что Шифф переписывает (44.12) как $$\hbar^2k^2=(\mathbf{L}+\frac{1}{2}\hbar\pmb{\sigma}')^2+\frac{1}{4}\hbar^2.$$
Почему так - куда делось одно из слагаемых $\hbar\pmb{\sigma}'\cdot\mathbf{L}$ и $\frac{1}{2}\hbar^2,$ если раскрыть скобки в последнем выражении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор k и полный момент, непонятная формула.
Сообщение10.04.2018, 00:08 
Заслуженный участник


29/09/14
889
Потому что в выражении

$(\pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L})^2=(\sigma'_xL_x+\sigma'_y L_y+\sigma'_z L_z)^2$

после раскрытия скобок возникают наряду с членами $L_x^2+L_y^2+L_z^2$ ещё и перекрёстные члены. Преобразуя их с помощью коммутационных соотношений для матриц $\sigma'_i,$ а также с помощью коммутационных соотношений для операторов $L_i, $ в итоге получим:

$(\pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L})^2=\mathbf{L}^2-\hbar \, \pmb{\sigma}' \cdot \mathbf{L}.$

Ну и надо также учесть, что

$\pmb{\sigma}' ^2=\sigma'_x^2+\sigma'_y^2+\sigma'_z^2=3.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group