Интеграл столкновений и джоулево тепло

[Kamaz]

Вопрос.
Закон Ома в дифф. форме имеет вид $j=\sigma E$. Джоулево тепло запишем как $jE=\sigma E^2$, т.е. выражается через проводимость $\sigma=\frac{e^2n\tau}{m}$, где $n$ - концентрация электронов, $m$ - их масса. Время релаксации импульса $\tau$ находится из интеграла столкновений в уравнении Больцмана в приближении времени релаксации. Последнее можно ввести только для упругих процессов при рассеянии электронов на примесях или для электрон-фононных столкновений в пренебрежении неупругостью рассеяния. Таким образом, выражение $\sigma=\frac{e^2n\tau}{m}$ не содержит информации о неупругости столкновений. Тем не менее, выделение джоулева тепла существенно требует неупругости процесса - передачи части своей энергии электроном решетке. Почему формула, описывающая джоулево тепло, $\sigma E^2$ не содержит информации о неупругости процессов рассеяния?

Заранее благодарен за ответы.

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #1302571 писал(а):

выделение джоулева тепла существенно требует неупругости процесса - передачи части своей энергии электроном решетке.

Не обязательно. Теоретически может греться электронный газ, не передавая это тепло решетке. Хотя конечно неупругие процессы в реальности есть и важны.

Не вполне понятно что Вы имеете в виду, говоря о чисто упругих процесса в приближении времени релаксации. Обычно интеграл столкновений в этом приближении записывается так: $\tau^{-1}(f-f_0)$, где $f_0$ --- равновесная функция распределения. Естественно, в таком случае неупругие процессы учитываются (иначе не было бы стремления к $f_0$). Хотя, конечно, можно навыдумывать много совершенно разных тау-приближений.

[Kamaz]

Я имею в виду вот что. При выводе (например, для электрон-фононного интеграла столкновений) выражения $-\delta f/\tau$ (где $\delta f=f-f_0$) существенно используется тот факт, что процесс рассеяния - упругий. Именно, что представить интеграл столкновений в виде $-\delta f/\tau$ можно лишь для упругих процессов. Об этом сказано, например, в книге А.И. Ансельм "Введение в теорию полупроводников".

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #1302583 писал(а):

что процесс рассеяния - упругий.

Так не может быть. Действительно, при отсутствии воздействий ЛЮБАЯ начальная функция распределения при таком интеграле столкновений постепенно релаксирует к $f_0$. Но если начальное распределение соответствует не такой средней ЭНЕРГИИ как при $f_0$, то за счет упругих процессов оно НИКОГДА не отрелаксирует к $f_0$. Так что одно из двух: или такой ИС, или только упругие процессы. Но не то и другое вместе!

[Kamaz]

Я понимаю, о чем вы говорите и согласен с вами. Тут есть тонкость: строго говоря в полупроводниках вводят два времени: время релаксации по импульсу и время релаксации по энергии. Суть: первое время характеризует строго говоря время изотропизации функции распределения в импульсном пространстве:

$I_{st}=-\frac{f-<f>}{\tau_p}$ (1)

здесь <f>$ - изотропная по импульсу, но неравновесная функция распределения. ИС в виде

$I_{st}=-\frac{<f>-f_0}{\tau_{\varepsilon}}$ (2)

описывает релаксацию к равновесию. Обычно $\tau_{\varepsilon}>>\tau_{p}$ и последний ИС часто не фигурирует.
Вот тут и мое непонимание: вроде только упругие процессы не дают релаксации. Но часто в (1) пишут просто $f_0$ и вовсю пользуются только $\tau_p$. При этом и джоулево тепло выражают только через время релаксации импульса.
Надо дождаться amon, может он внесет ясность.

[amon]

Поскольку в кинетике я не очень копенгаген, то пока выкручусь, а потом постараюсь спросить у знающих людей и вернуться к заданному вопросу.

Выкручиваюсь. В результате решения кин.уравнения мы получили, что $\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$ Значит поле совершает над каждым зарядом работу $\mathbf{jE}.$ Почему так получилось для упругих столкновений пока промолчу - могу соврать.

[Kamaz]

to amon

Буду весьма признателен.

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #1302604 писал(а):

Обычно $\tau_{\varepsilon}>>\tau_{p}$ и последний ИС часто не фигурирует.

Как я и говорил, закон Ома может получиться и без нагрева решетки. Но с нагревом электронного газа. Не понимаю в чем проблема. Поле совершает работу, эта работа идет на нагрев электронного газа. И, кстати, если $\langle f \rangle$ считать заданной функцией, то неявно даже предполагается отвод тепла от этого электронного газа (иначе бы $\langle f \rangle$ менялась).

Вы же не задаетесь вопросом, куда девается энергия в, скажем, маятнике с трением. Ясно, что в тепло. Но это тепло никак в уравнении не фигурирует. Вот вполне аналогично ЗАДАВ ФИКСИРОВАННОЙ функцию $\langle f \rangle$ мы зададим своего рода трение в системе.

-- Пн апр 09, 2018 15:26:58 --

Kamaz в сообщении #1302604 писал(а):

Но часто в (1) пишут просто $f_0$ и вовсю пользуются только $\tau_p$

Ну это неявно предполагается что время электрон-решеточной релаксации достаточно мало. И, кстати, "достаточно" --- это не много меньше времени электрон-электронной релаксации. Если поле слабое, то заметно нагреть эл. газ не получится и при длинной электрон-решеточной релаксации. В пределе бесконечно слабого поля (а что такое закон Ома?) и вообще сколь угодно длинной.

[Kamaz]

Alex-Yu
Я, кажется, начинаю понимать о чем вы говорите и где было мое слабое место . Сейчас не времени, вечером сформулирую свое понимание, и отпишусь

[amon]

Kamaz, я поговорил. Ответ в двух словах такой. Мы считаем первую (линейную по полю) поправку к функции распределения. Рассеиваемая мощность по полю квадратична (на что я намекал), поэтому этой поправкой не учитывается. Для ее правильного расчета надо учитывать неупругие процессы, либо процессы переноса энергии в другие подсистемы (генерация фононов и изменение фононной функции распределения за счет этого и т.п.). При этом поправка от таких процессов к проводимости в ряде систем, например, металлах при не слишком больших полях, мала, и режим остается "оммическим".

[Kamaz]

я все понял, разобрался, всем спасибо!