Вертикальный стержень на гладком столе. ФЛФ, з-ча 20-6.

[Uchitel'_istorii]

Условие:

PNG. писал(а):

Two uniform equal stiff rods $AB$ and $AC$ are freely hinged at $A$ and placed on a smooth horizontal table with $AC \perp AB$. A horizontal blow is delivered perpendicular to $AC$ at $C$. Find the ration of the resulting linear velocities of the centers of mass of $AB$ and of $AC$, immediately after impact.

В русском условии PNG в точке $A$ не шарнир, а жесткое соединение. Хочу решить оригинальную задачу.

Согласно feynmanlectures.info/FLP_Original_Course_Notes/pages/ON2-043.html $\tau_{ext} = dL_{tot}/dt$, $L$ и $\tau$ взятые относительно центра масс в ускоряющейся системе.
\mathbf{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}
$\tau_z = r_xF_y - r_yF_x

Для стержня $AC$:
$-F\cdot(-0.5L) - F_{xAB}\cdot 0.5L = \tfrac{ML^2}{12}\cdot \alpha_z
, где
$F$ -- x-координата вектора силы, приложенной к точке $C$;
$F_{xAB}$ -- x-координата вектора силы с боку стержня $AB$;
$L$ -- длина стержней, $L = AB = AC$;
$M$ -- масса любого стержня, $M = M_{AB} = M_{AC}$;
$\alpha_z$ -- угловое ускорение по оси $z$, направленной перпендикулярно рисунку.

Ускорение точки $A$ в системе центра масс $AC$:
$\mathbf{a_{A in AC c.m.}} = \mathbf{\alpha} \times \mathbf{r}$
$a_{xA in AC c.m.} = \alpha _y r_z - \alpha _z r_y = - \alpha _z r_y = - \alpha _z \cdot 0.5L$.

x-координата ускорения центра масс стержня $AC$:
$a_{x c.m. AC} = \tfrac{F+F_{xAB}}{M}$
y-координата ускорения центра масс стержня $AC$:
$a_{y c.m. AC} = 0$

x-координата ускорения точки $A$ в системе стола:
$a_{xA} = a_{xA in AC c.m.} + a_{x c.m. AC} = - \alpha _z \cdot 0.5L + \tfrac{F+F_{xAB}}{M}$

Для стержня $AB$:
$F_{xAB} = -F_{xAC}$
$a_{x c.m. AB} = \tfrac{F{xAC}}{M} = a_{xA}$
, где $F_{xAC}$ -- x-координата силы , приложенной к стержню $AB$ с боку стержня $AC$.


Получаем систему:
$\begin{cases} -F\cdot(-0.5L) - F_{xAB}\cdot 0.5L = \tfrac{ML^2}{12}\cdot \alpha_z \\ a_{xA} = - \alpha _z \cdot 0.5L + \tfrac{F+F_{xAB}}{M} \\ F_{xAB} = -F{xAC} \\ \tfrac{F{xAC}}{M} = a_{xA} \end{cases} \begin{cases} F_{xAB} = 0.4F \\ F_{xAC} = - 0.4F \\ a_{xA} = -\tfrac{ 0.4F }{M}\\ \alpha _z = \tfrac{3.6F}{LM} \end{cases}$

Отношение скоростей центров масс стержней:
$\tfrac{v_{c.m. AC}}{v_{c.m. AB}} =\tfrac{v_{x c.m. AC}}{v_{x c.m. AB}} = \tfrac{dv_{x c.m. AC}}{dv_{x c.m. AB}} = \tfrac{a_{x c.m. AC}dt}{a_{x c.m. AB}dt} =\tfrac{\tfrac{F+F_{xAB}}{M}}{\tfrac{F_{xAC}}{M}} =\tfrac{\tfrac{F+0.4F}{M}}{\tfrac{-0.4F}{M}} =\tfrac{1.4}{-0.4} = -3.5$

Это правильный ответ?

[pogulyat_vyshel]

Ну, как я заметил, вы в своих решениях и в своем понимании вы всегда уверены железобетонно. Вам че, собственно, надо-то, чтоб кто-нибудь вашу арифметику проверил? Вам надо выйти в большие начальники что бы вы генерировали идеи, а подчиненные делали вычисления. :)

[Uchitel'_istorii]

Арифметику проверять не нужно. Нужно проверить ход решения.

[fred1996]

Условие не совсем понятно.
Что значит freely hinged? Можно понять двояко. В зависимости от того, есть там плотное касание в соединении, или малый зазор.
В первом случае считаем, что удар действует на всю конструкцию сразу и значит после удара концы стержней в точке А движутся с одинаковой скоростью.
Во втором случае задача разбивается на два последовательных удара. Сначала в точке С, затем в точке А. В обоих случаях наверное считается, что стержень АВ после удара не вращается, поскольку они freely hinged.
Вы какой случай рассматриваете?

Пояснение. Если вы играете в билиард и бьете по двум плотно касающимся шарам, удар может получиться последовательным, или одновременный. В первом случае первый шар сразу остановится. Во втором они покатятся практически вместе с одной скоростью.

[Uchitel'_istorii]

Мной предполагался шарнир в т. $A$. Т.е. это то же самое, что нулевой зазор.

[pogulyat_vyshel]

fred1996


Ксти хорошая задача для ваших студентов. Там шарнир, конечно, в точке $A$.

решение

(Оффтоп)

$G$ -- центр масс стержня, по которому бьют, $F$ -- центр масс другого стержня


Пишем теорему об изменении кин момента для каждого стержня относительно неподвижной точки, которая в момент удара совпадает с точкой $A$:

$$m[\boldsymbol{AG},\boldsymbol v_G]+J_G\boldsymbol{\omega}_1=[\boldsymbol{AC},\boldsymbol P],\quad m[\boldsymbol{AF},\boldsymbol v_F]+J_F\boldsymbol{\omega}_2=0,\quad J_G=J_F$$

где $\boldsymbol P$ -- ударный импульс. $\boldsymbol{\omega}_1$ -- угловая скорость стержня по которому бьют, $\boldsymbol{\omega}_2$ -- угловая скорость другого стержня.
Теорема о движении центра масс:

$$m(\boldsymbol v_F+\boldsymbol v_G)=\boldsymbol P,$$

условие того, что концы стержней в шарнире движутся с одинаковой скоростью:

$$\boldsymbol v_G+[\boldsymbol\omega_1,\boldsymbol{GA}]=\boldsymbol v_F+[\boldsymbol\omega_2,\boldsymbol{FA}]$$

это все уравнения, раскладывать их удобно по неподвижной декартовой системе координат с центром в точке $A$ и осями проходящими через стержни

[rascas]

Uchitel'_istorii в сообщении #1302312 писал(а):

Это правильный ответ?

Да. Всё верно. Правильное решение и ответ.

[pogulyat_vyshel]

На самом деле там в буквально в каждой строчке ошибка

[wrest]

Uchitel'_istorii
У вас талант писать вроде бы подробные, но непонятные решения :)
Я, например, не понял обозначений.
Вот прям с самого начала

Uchitel'_istorii в сообщении #1302312 писал(а):

$\tau_{ext} = dL_{tot}/dt$, $L$ и $\tau$ взятые относительно центра масс в ускоряющейся системе.

Что обозначается буквами $L$ и $\tau$?
По указанной вами ссылке речь идет об однородных полях тяжести. Смысл в том, что если вы отпустите твердое тело в однородном поле тяжести в свободное падение (или, что тоже самое, придадите одинаковое ускорение всем точкам тела), то оно не начнет вращаться, потому что для такого поля центр масс и центр тяжести это одна и та же точка. Затем буквой $L$ у вас обозначена длина стержней...
Далее,

Uchitel'_istorii в сообщении #1302312 писал(а):

$F$ -- x-координата вектора силы, приложенной к точке $C$;

а как направлена ось $x$?
Кстати, а почему к $C$ приложена сила, ведь в задаче спрашивают что будет сразу после удара, когда сила уже не приложена.

[Uchitel'_istorii]

wrest в сообщении #1302739 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1302312 писал(а):

$\tau_{ext} = dL_{tot}/dt$, $L$ и $\tau$ взятые относительно центра масс в ускоряющейся системе.

Что обозначается буквами $L$ и $\tau$?

По ссылке http://feynmanlectures.info/FLP_Origina ... 2-043.html приводится резюме лекции 19, в частности последний абзац раздела 19-1.

Цитата:

This fact has a very interesting consequence. In an inertial frame that is not accelerating, the torque is always equal to the rate of change of the angular momentum. However, about an axis through the center of mass of an object which is accelerating, it is still true that the torque is equal to the rate of change of the angular momentum. Even if the center of mass is accelerating, we may still choose one special axis, namely, one passing through the center of mass, such that it will still be true that the torque is equal to the rate of change of angular momentum around that axis. Thus the theorem that torque equals the rate of change of angular momentum is true in two general cases: (1) a fixed axis in inertial space, (2) an axis through the center of mass, even though the object may be accelerating.

У Фейнмана $L$ -- угловой момент (angular momentum), $\tau$ -- крутящий момент (torque) http://feynmanlectures.info/FLP_Origina ... 2-042.html .
Эту часть резюме нужно помнить, при выборе системы отсчета, а именно нельзя выбирать ускоряющуюся систему отсчета с центром не в центре масс тела.

Цитата:

Далее,

Uchitel'_istorii в сообщении #1302312 писал(а):

$F$ -- x-координата вектора силы, приложенной к точке $C$;

а как направлена ось $x$?

Оси направлены следующим образом: png . Ось $z$ направлена на читателя, перпендикулярно плоскости рисунка.

Цитата:

Кстати, а почему к $C$ приложена сила, ведь в задаче спрашивают что будет сразу после удара, когда сила уже не приложена.

Я думаю, разницы нет, закончен ли удар в момент проведения замера скорости. Это влияет лишь на второй замер, которого по условию не предполагается.

[rascas]

Uchitel'_istorii
Похоже, что оси вы перепутали. Ось $Ox$ должна быть горизонтальной. (Перпендикулярной к $AC$)

И также например:

Uchitel'_istorii в сообщении #1302312 писал(а):

$F$ -- x-координата вектора силы, приложенной к точке $C$;

Следует понимать как:
$F$ - проекция силы, приложенной в точке $C$, на ось $Ox$ .