Конечные разности

[kthxbye]

Эйлер, объясняя конечные разности, почти все формулы иллюстрирует первыми членами. Так, если

$y_{a}=(x+aw)^n$

то следуя его рассуждениям мы приходим в общем виде к

$\displaystyle \triangle^{b}y_{a}=\sum\limits_{k=b}^{n}\binom{n}{k}\left(\frac{w}{x}\right)^{k}x^{n}\sum\limits_{c=0}^{b}\binom{b}{c}(-1)^{b-c}(a+c)^k$

выделяя частный случай

$\displaystyle \triangle^{b}x^n=\sum\limits_{k=b}^{n}{k\brace b}\left(\frac{w}{x}\right)^{k}x^{n} n^{\underline {k}}$

который он, кстати, приводит, но несколько иначе. Далее он указывает (все так же первыми членами), что

$\displaystyle \triangle x^{-n}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{n^{\overline{k}}}{k!}\left(\frac{w}{x}\right)^{k}x^{-n}(-1)^k$

и пишет, что "закон вторых и следующих разностей усматривается не столь легко". Очевидно, что по аналогии

$\displaystyle \triangle^{b}x^{-n}=\sum\limits_{k=b}^{\infty}{k\brace b}\left(\frac{w}{x}\right)^{k}x^{-n} n^{\overline {k}}(-1)^k$

Чем можно объяснить обособление этого тривиального случая от остальных?