О фундаментальных областях римановых поверхностей

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Буду рад, если Вы поможете со следующим вопросом. Пусть риманова поверхность ${\Bbb S}$ имеет гиперболический тип и является компактной. Предположим, $F$ -- фундаментальная область для ${\Bbb S}.$ Требуется доказать, что $\overline{F}$ -- компакт в единичном круге. Кто может подсказать мне что-либо в этом вопросе ? Заранее благодарен !

[Brukvalub]

Мне не совсем понятно, что означают слова

Evgenii2012 в сообщении #1301914 писал(а):

$F$ -- фундаментальная область для ${\Bbb S}.$

Можно предположить, что речь идет о теореме Пуанкаре об униформизации, т.е. представлению компактной Римановой поверхности как фактора единичного круга (в модели Пуанкаре гиперболической плоскости) по действию некоторой свободной конечно-порожденной Фуксовой группы, и речь идет о канонической фундаментальной области этой группы. В таком случае есть стандартное описание фундаментальной области униформизирующей группы, из этого описания автоматически следует, что ее замыкание является компактом в модели Пуанкаре. Узнать больше можно, например, в книге Беардона Геометрия дискретных групп.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за Ваше мнение. Я, естественно, хорошо знаю эту книгу, но не уверен, что данный факт легко следует из самой конструкции фундаментальной области. В частности, так называемый многоугольник Дирихле вполне может выходить на границу единичного круга - а почему нет ? Давайте обсудим этот момент

[Brukvalub]

Evgenii2012 в сообщении #1302274 писал(а):

В частности, так называемый многоугольник Дирихле вполне может выходить на границу единичного круга - а почему нет ?

Для фундаментальных областей Фуксовых групп, униформизующих именно компактные Римановы поверхности, такое невозможно. Пожалуй, лучше сослаться не на Беардона, а на книгу Светланы Борисовны Каток "Фуксовы группы", где этот факт прямо доказан в параграфе 4.2.

[Evgenii2012]

Brukvalub, большое спасибо за помощь. Как всегда, компетентный, квалифицированный совет по делу )