Всюду плотные траектории в эргодической системе

[pogulyat_vyshel]

Через $X,\sigma$ обозначим множество, снабженное $\sigma-$ алгеброй; $\mu:\sigma\to\mathbb{R}$ -- неотрицательная счетно аддитивная мера, $\mu(X)=1.$
$T:X\to X$ -- измеримое отображение, $T(X)=X$.

Предположим, что $T$ сохраняет меру: $\mu(T^{-1}(F))=\mu(F),\quad \forall F\in\sigma.$


Одно из эквивалентных определений эргодичности отображения $T$ следующее. Отображение $T$ называется эргодичным если для любой $f\in L^1(X)$ равенство

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}\sum_{i=0}^{N}f(T^i(x))=\int_Xfd\mu$$

верно при почти всех $x$.

Предположим дополнительно что $X$ топологическое пространство со счетной базой открытых множеств $\{U_j\}$, $\sigma-$алгебра на $X$ содержит все открытые множества, причем мера каждого непустого открытого множества больше нуля.

Теорема. Пусть отображение $T$ -- эргодично. Тогда для почти всех $x$ траектории $\{T^k(x)\mid k=0,1,2,\ldots\}$ плотны в $X$.

Эта теорема особенно просто доказывается с помощью приведенного определения эргодичности. Действительно, обозначим через $F_j$ множество начальных условий $x$ для которых траектория $\{T^k(x)\mid k=0,1,2,\ldots\}$ не посещает множество $U_j$. Измеримость $F_j$ следует из представления

$$F_j=X\backslash\bigcup_{i\in\mathbb{N}\cup\{0\}} T^{-i}(U_j).$$

Предположим, что $\mu(F_j)>0$ Тогда найдется точка $y\in F_j$ такая, что

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}\sum_{l=0}^{N}I_{U_j}(T^l(y))=\int_XI_{U_j}d\mu=\mu(U_j)>0.$$

($I_F$ -- индикатор множества $F$)
Поскольку левая часть этой формулы равна нулю, мы получаем противоречие. Значит мера каждого $F_j$ равна нулю.

ЧТД

[Red_Herring]

Никогда не задавался вопросом: для Гамильтоновых систем обратное утверждение верно или нет?

[pogulyat_vyshel]

А, ведь, при такой постановке вопроса (в стартовом посте то есть) инвариантность меры вроде как и не нужна, формально по крайней мере.
Я знаю только два примера эргодических гамильтоновых систем: геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны и квазипериодический поток на торе (ну там еще конечно какие-то совсем искусственные примеры есть ). Так что на ваш вопрос ответить не могу. Думаю, что если бы обратное утверждение было верно, это была бы очень известная теорема

[demolishka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1301961 писал(а):

инвариантность меры вроде как и не нужна

Из такого определения эргодичности

pogulyat_vyshel в сообщении #1301877 писал(а):

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}\sum_{i=0}^{N}f(T^i(x))=\int_Xfd\mu$$

инвариантность следует. Или Вы про другое?

Вообще, для наиболее распространенного --- компактного случая это утверждение совсем очевидно, поскольку можно выделить множество полной меры, не зависящее от $f$, на котором сходимость будет иметь место. Еще мне встречались работы, где оценивается хаусдорфова размерность (или, более сильная, "выигрышная размерность" в терминах игр Шмидта) этого исключительного множества меры нуль, на котором сходимость отсутствует.

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1301974 писал(а):

инвариантность следует. Или Вы про другое?

я про то, что если в стартовом посте выбросить слова про сохранение меры отображением $T$ то от этого ничего далее не изменится. А так , да, конечно, инвариантность меры из такого определения эргодичности следует, только это тут с боку

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1301961 писал(а):

Я знаю только два примера эргодических гамильтоновых систем

Плюс биллиарды. Ну тут надо спрашивать у "биллиардистов".