Обязательно ли найдётся пара параллельных сторон?

[Ktina]

Квадрат разрезан на равные треугольники. Обязательно ли у любых двух треугольников найдётся пара параллельных сторон?
(А. Шаповалов)

[gris]

Что есть параллельные стороны? Квадрат, разделённый диагоналями, даёт пример, когда есть пара треугольников, у которых нет пары параллельных сторон. Может быть, коллинеарных?

[Ktina]

gris в сообщении #1301855 писал(а):

Что есть параллельные стороны? Квадрат, разделённый диагоналями, даёт пример, когда есть пара треугольников, у которых нет пары параллельных сторон. Может быть, коллинеарных?

Если верить Вике,

Добрая Викочка писал(а):

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (Иногда совпадающие прямые не считаются параллельными, в данной статье такое определение не рассматривается).

То есть, совпадающие можно считать параллельными.

-- 05.04.2018, 15:46 --

gris
На самом деле, это наикрасивейшая задача, спасибо товарищу Шаповалову, с наикрасивейшим решением. Когда напишут книгу "Контрпримеры в геометрии", эта задача займёт достойное место в ней.

[photon]

Ktina в сообщении #1301778 писал(а):

Обязательно ли у любых двух треугольников найдётся пара параллельных сторон?

Не обязательно. Коллеги у меня нашли решение с замощением квадрата прямоугольными треугольниками со сторонами $3:4:5$, такое, что есть треугольники, не имеющие ни одной пары параллельных сторон, но я не берусь его тут нарисовать - дюже много (если не ошиблись в подсчетах, больше $1.4\cdot10^8$) треугольников получается. Но в целом алгоритм построения, если интересно, как будет свободное время, кратко опишу.

[Ktina]

photon
Большое спасибо!
Буду с непертением ждать

[wrest]

photon в сообщении #1303485 писал(а):

Коллеги у меня нашли решение с замощением квадрата прямоугольными треугольниками со сторонами $3:4:5$,

Замощение равными треугольниками или подобными треугольниками?

[photon]

wrest в сообщении #1303497 писал(а):

Замощение равными треугольниками или подобными треугольниками?

Равными. Подобные с рациональным соотношением длин сторон можно замостить равными маленькими.

[photon]

Идея следующая:
Берем прямоугольный треугольник $ABC$ со сторонами $4:3:5$, достраиваем до прямоугольника $ABCD$, затем пристраиваем прямоугольный треугольник $AEB$ также с соотношением сторон $4:3:5$ и снова достраиваем до прямоугольника. И повторим эту операцию для полученного прямоугольника еще раз - так, чтобы стороны этого прямоугольника стали гипотенузами треугольников с тем же соотношением сторон - получим еще один прямоугольник (составленный из подобных прямоугольных треугольников, с непараллельными сторонами - стороны $ABC$ будут непараллельны сторонам самых внешних треугольников). Стороны этого внешнего прямоугольника имеют рациональное отношение, поэтому можно трансляцией таких прямоугольников замостить квадрат. Все подобные треугольники, составляющие наш прямоугольник также имеют имеют рациональные соотношения сторон, поэтому все эти треугольники можно замостить маленькими, им подобными и параллельными, равными между собой треугольничками.

-- Sat Apr 14, 2018 23:09:45 --

Сорри, что не стал дорисовывать внешний прямоугольник, но, надеюсь, понятно.

[Ktina]

photon
Круто! Спасибо большое-пребольшое!