Аналогия между конечной суммой и формулой Ньютона-Лейбница

[deep blue]

Квант писал(а):

Для искушенного читателя, знакомого с понятием интеграла, заметим, что банальная формула $\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(i)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} (F(i+1)-F(i))=F(n)-F(0)$ является аналогом формулы Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)-F(a)$

(И действительно из неё легко выводится формула Ньютона-Лейбница:)

Рассмотрим конечное разбиение отрезка [a,b] точками $x_0,x_1,...,x_n$ где $x_0=a$ и $x_n=b$ и запишем тривиальное тождество:
$f(b)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} (f(x_{i+1})-f(x)) + f(a)$ и далее $f(b)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+1}-x_i)+ f(a)$
теперь устремляя $n\to\infty$ так чтобы $\max\{x_{i+1}-x_i\}\to 0$ получается формула Ньютона-Лейбница: $f(b)-f(a)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+1}-x_i)=\int_{a}^{b} f'(x) dx$ конечно при условии непрерывности $f'$

Квант писал(а):

Так как существуют функции от которых интегралы (неопределенные) не берутся, то не всегда существует искомая функция F(x) в формуле $\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(i)=F(n)-F(0)$

А вот этот вывод по-моему неправомерен, что продемонстрируем на трех примерах:
1)
$\int_{a}^{b} \matrm{e}^{x^2} dx$ не имеет первообразной в элементарных. Но $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (\matrm{e}^{(i+1)^2} - \matrm{e}^{i^2})=\matrm{e}^{(n+1)^2}-\matrm{e}$
То есть в терминах цитаты "функция нашлась" хотя интеграл не берется.

2.
$\int_{a}^{b} \frac{1}{x^2} dx=-\frac{1}{x}$. Но $\sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i^2}$ не выражается в элементарных как $\sum\limits_{i=1}^{n-1} (F(i+1)-F(i))$
То есть в терминах цитаты "функция не нашлась" хотя интеграл берется.

3.
$\int \frac{1}{x(x+1)} dx=\ln{\frac{x}{x+1}}$. Но $\sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{n}$
То есть в терминах цитаты и "функция нашлась" и интеграл берется, но функция $\frac{1}{x}$ совершенно не похожа на первообразную $\ln{\frac{x}{x+1}}$.


Итак, на примерах мы увидели что цитата

Квант писал(а):

Так как существуют функции от которых интегралы (неопределенные) не берутся, то не всегда существует искомая функция F(x) в формуле $\sum\limits_{i=0}^{n-1} f(i)=F(n)-F(0)$

совершенно безответственная и бессмысленная или все-таки какой-то смысл там присутствует?

[thething]

В цитируемом фрагменте не сказано, что для тех функций, от которых интегралы не берутся обязательно не существует функция в смысле приведенной суммы. А если интеграл берется -- то такая функция обязательно существует.

Я понял так: поскольку существуют функции, от которых интегралы не берутся, то существуют и функции, для которых указанная сумма "не берется", но эти классы не обязаны совпадать.

-- 04.04.2018, 16:01 --

Ну и еще, там стоит "не всегда", т.е. может существовать, а может и нет

[deep blue]

thething в сообщении #1301584 писал(а):

Я понял так: поскольку существуют функции, от которых интегралы не берутся, то существуют и функции, для которых указанная сумма "не берется", но эти классы не обязаны совпадать.

thething, Вот именно этот логический вывод в цитате "если одно то другое" ниоткуда не следует и ничем не обоснован. Хотя конечно верна и посылка и следствие, но их связь никак не просматривается, что и демонстрируют мои примеры.
Это примерно как если бы написали

Цитата:

Поскольку a*a=a не всегда верно, то не всегда существуют гомеоморфизм между банаховым пространством и хаусдорфовым предкомпактом

[thething]

Ну это же журнал на массового читателя, поэтому и не всегда строгие формулировки.. Ну, я так полагаю.

[DeBill]

Хорошая цитата. Говорит о том, что все это (интегралы и суммы) - сильно параллельно.
И примеры , ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ это , Вы хорошие привели: вот в первом - интеграл не берется, а во втором - сумма не считается. Именно на это и намекает цитата (не всегда, мол...). Но подразумевает, что и исключения бывают. И опять Вы хорошие примеры привели: вот в первом сумма считается, а во втором - интеграл (а в третьем - обои ). Для полного подтверждения цитаты, еще следовало привести пример, когда все плохо - ну, это совсем легко.

[deep blue]

DeBill Я же объяснил чем плоха эта хорошая цитата. Словом "так как" в самом начале, без этого слова цитата была бы идеальна.

[Dan B-Yallay]

На мой взгляд оборот "так как" подразумевает, что раз не все функции интегрируемы в элементарных, то, соответственно, не для всех есть аналог в виде суммирования. Приведённые Вами примеры никак этому не противоречат.

(Оффтоп)

Попробуем поиграть в аналогию. Берём идею-фикс: "человек, совершивший преступление, должен быть найден и посажен в тюрьму". Конструируем не нравящееся утверждение:

Так как не все преступления раскрываются, то не всегда преступник получает наказание.

Причины по которым не нравится оборот "так как":
1) Была кража в ликёро-водочном магазине, она до сих пор нераскрыта. В это время в тюрме за грабёж банка сидит Горбатый. Он же и обворовал магазин, но доказать не могут. Преступник не найден, но сидит в тюрьме. Непорядок.
2) Кражу магазина раскрыли, но к тому времени Горбатого порешили его же сообщники. Преступник-вор (магазинный) найден, но в тюрьме не сидит. Непорядок.
3) Убийство Горбатого раскрыли, убийцу нашли на свободе, но он уже сменил имя, фамилию, пол и вышел замуж. Посадили в женскую колонию. На человека, сидевшего и убившего Горбатого совсем не похож. Непорядок.

Все эти три случая никак не отменяют возможности того, что иногда всё же преступник не наказан потому, что преступление не раскрыто. Поэтому сочетание "так как" вполне уместно.

Или докажите, что все случаи с первообразными и суммами исчерпываются теми тремя.

[--mS--]

deep blue в сообщении #1301583 писал(а):

1)
$\int_{a}^{b} \matrm{e}^{x^2} dx$ не имеет первообразной в элементарных. Но $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (\matrm{e}^{(i+1)^2} - \matrm{e}^{i^2})=\matrm{e}^{(n+1)^2}-\matrm{e}$
То есть в терминах цитаты "функция нашлась" хотя интеграл не берется.

Вы хотите сказать, что

$$ \sum\limits_{i=0}^{n-1} e^{i^2} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} (\matrm{e}^{(i+1)^2} - \matrm{e}^{i^2}) ? $$

[deep blue]

--mS-- Я видел эту помарку и казалось она ничего не меняет, потому что должно было быть $\int\limits_a^b \mathrm{e}^{(x+1)^2}-\mathrm{e}^{x^2} dx$. Но сейчас вижу что должно быть как раз, то что хотели в цитате $\int\limits_a^b \mathrm{e}^{x^2}' dx=\mathrm{e}^{x^2}+C$. И в общем случае из $\int\limits_a^b f(x)' dx = f(b)-f(a)$ следует что $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (f(n+1)-f(n)) = f(n)-f(0)$
Теперь все понятно. Вот я опростоволосился, сам же заменял подинтегральное выражение на производную при выводе формулы Ньютона-Лейбница, а в примерах просто решил набросать что попало, не подумав.

[ewert]

deep blue в сообщении #1301583 писал(а):

теперь устремляя $n\to\infty$ так чтобы $\max\{x_{i+1}-x_i\}\to 0$ получается формула Ньютона-Лейбница: $f(b)-f(a)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+1}-x_i)=\int_{a}^{b} f'(x) dx$ конечно при условии непрерывности $f'$

Не-а, не получается. Во-первых, нельзя так просто переходить к пределу под знаком суммы (и, что самое главное, вовсе и не нужно). Во-вторых, непрерывность производной тут совсем не при чём -- от производной требуется всего лишь интегрируемость (и именно требуется).

[deep blue]

ewert в сообщении #1302512 писал(а):

Не-а, не получается. Во-первых, нельзя так просто переходить к пределу под знаком суммы

Это вы метко заметили, придётся добавить еще один шажок:

$$f(b)-f(a)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}(x_{i+1}-x_i)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n-1} f'(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)=\int_{a}^{b} f'(x) dx$$

ewert в сообщении #1302512 писал(а):

и, что самое главное, вовсе и не нужно

Я ценю свое доказательство за то, что оно естественным образом обобщает конечные суммы на интегралы. Как всегда это делается с помощью предельного перехода. Неужели вы собираетесь обойтись без предельного перехода и будет ли такое доказательство лучше моего? Не уверен.

ewert в сообщении #1302512 писал(а):

Во-вторых, непрерывность производной тут совсем не при чём -- от производной требуется всего лишь интегрируемость

Кажется вы ошибаетесь.
По определению наша производная всюду имеет первообразную (неопределенная интегрируемость).
Однако это не делает формулу $\int\limits_a^b f(x)' dx = f(b)-f(a)$ верной! Контрпримеры известны.

[ewert]

deep blue в сообщении #1302657 писал(а):

По определению наша производная всюду имеет первообразную (неопределенная интегрируемость).

Первообразную -- имеет. Но это ещё вовсе не означает интегрируемость. Формально говоря, неопределённый интеграл и определённый изначально между собой никак не связаны.

deep blue в сообщении #1302657 писал(а):

Как всегда это делается с помощью предельного перехода.

Проблема в том, что у Вас нет никакого предельного перехода. То, что есть -- лишено формального смысла: сумма зависит не просто от эн, а от жуткого набора иксов. При чём тут тогда $n\to\infty$?

[deep blue]

ewert в сообщении #1302699 писал(а):

Проблема в том, что у Вас нет никакого предельного перехода. То, что есть -- лишено формального смысла: сумма зависит не просто от эн, а от жуткого набора иксов. При чём тут тогда $n\to\infty$?

Как же нет формального смысла??? $\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n-1} f'(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$ это в точности определение определенного интеграла через интегральные суммы:

[ewert]

deep blue в сообщении #1302771 писал(а):

$\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n-1} f'(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$ это в точности определение определенного интеграла через интегральные суммы:

Это в точности другое определение -- совсем другое условие предельного перехода. Впрочем, процитированное Вами викиопределение тоже не годится: оно сойдёт лишь как лирическое описание, формального же смысла в нём лишь чуть больше, чем Вашем.

[deep blue]

ewert, Условие предельного перехода одно и то же. Я ведь сделал оговорку заранее:

deep blue в сообщении #1301583 писал(а):

теперь устремляя $n\to\infty$ так чтобы $\max\{x_{i+1}-x_i\}\to 0$

Викиопределение всего лишь копирует определение из учебника Садовничих "Математический анализ в задачах и упражнениях. Том 1. Дифференциальное ... " параграф 7.1