Бином Ньютона в банаховых пространтствах

[Gargantua]

Здравствуйте.
Необходимо доказать формулу бинома Ньютона:
$F_k(x+h)^k=\sum_{s=0}^{k}C_k^sF_kx^{k-s}h^s,$
где $(x+h)^k=(x_1+h_1, x_2+h_2,\dots,x_k+h_k) \in X^k=\underbrace{X\oplus X\oplus \dots\oplus X}_{k},\, $
$X-$банахово, $F_k: X^k \rightarrow Y - $ линейный симметричный оператор, Y-банахово.
Доказываю по индукции. В доказательстве необходимо перейти от оператора $F_{k-1}$ к $F_k$. Как это сделать?

[mihaild]

Не очень понятно, что такое $x$ и $x_1$ (а также что такое симметричный оператор из одного банахова пространства в другое).
Если $x \in X^k$, и $x_i$ - его компоненты, то непонятно, что такое $x ^ {k - s}$.

[Gargantua]

Обозначения взяты из уч. Треногина Функциональный анализ, 2002, стр.370.
$x_1, x_2$ и т.д. - это произвольные элементы из $X$.
$x^{k-s}$ - элемент из $X^{k-s}$, т.е. $x^{k-s}=(x_1,x_2,\dots,x_{k-s})$. Но в формуле бинома справа оператор определен на элементах из $X^k:$ $(x_1,x_2,\dots,x_{k-s},h_1,\dots,h_s)$.
k-линейный оператор называется симметричным, если его значения не меняются при любой перестановке аргументов. k-линейный значит линейный по каждому из k своих аргументов.

[DeBill]

Gargantua
Что-то не так с Вашими обозначениями...
Посмотрите, что будет все это значить для банахова пространства $\mathbb{R}$...

[mihaild]

Возьмем $X = Y = \mathbb{R}, k = 2, F(u, v) = uv$. По вашей формуле получается $F(x_1 + h_1, x_2 + h_2) = F(x_1, x_2) + 2F(x_1, h_1) + F(h_1, h_2)$, что неправда.

[Gargantua]

Спасибо за контрпример. Возможно $x^k$ стоит понимать, как $x^k=(x,x,....,x)$, то есть элементы одинаковые берутся. Автор учебника в дальнейшем понимает эту запись именно как для одинаковых элементов, хотя до того места, где встречается эта задача, про это не было сказано.

[DeBill]

Gargantua в сообщении #1300666 писал(а):

Возможно $x^k$ стоит понимать,

Во! И тогда - будет правда, и на бином станет похоже. И доказательство одномерное, видимо, можно адаптировать на банахов слкчай.