М.О. для смешанных случайных величин

[dima_1985]

$X$ и $Y$ – независимые случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. $X$ имеет равномерное распределение на отрезке $[1, 3]$, а $Y$ – дискретная случайная величина, принимающая значения $-2, 0, 2$ с вероятностью $\frac{1}{3}$ каждое. Пусть $Z= \exp(XY)$. Найти математическое ожидание случайной величины $Z$. Решение через условное $M[M[X|Y]]$. Если $Y=-2$, то $M[X|Y=-2]=\frac{1}{3-1}\int\limits_{1}^{3}\exp(-2x)dx$? Не знаю можно ли так? Ну а дальше все по аналогии. Если $Y=0$, то $M[X|Y=0]=\frac{1}{3-1}\int\limits_{1}^{3}\exp(-0x)dx$. Если $Y=2$, то $M[X|Y=2]=\frac{1}{3-1}\int\limits_{1}^{3}\exp(2x)dx$. $M[Z]=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}\exp(-2x)dx+\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}\exp(0)dx+\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}\exp(2x)dx)$

[ShMaxG]

Формула полной вероятности -- наше все:

$$\mathbb{E}f(X,Y)=\sum\limits_{k=1}^n \mathbb{E}(f(X,Y)|Y=y_k)\mathbb{P}(Y=y_k)$$

То, что вы предлагаете -- верно, это вы применяете формулу выше и пользуетесь независимостью $X$ и $Y$.

Но вам в задании необходимо (необходимо ли?) воспользоваться формулой $\mathbb{E}Z=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Z|Y))$ (наверное вы опечатались, и вместо $Z$ пишете $X$?). Это почти то же самое, что расчет по формуле полной вероятности. Фиксируете $Y$, вычисляете математическое ожидание $Z$ как будто $Y$ не случайная величина. Получаете некоторое выражение, зависящее от $Y$ (будьте аккуратны с интегралами, ведь может быть $Y=0$). А потом вспоминаете, что $Y$ -- случайная величина и вычисляете математическое ожидание от полученного выражения. Должны получить тот самый ответ, что и по формуле полной вероятности.

Вообще этот способ на мой взгляд немножко более сложный, хотя он эквивалентен формуле полной вероятности. Может быть в вашем задании формула полной вероятности и имелась ввиду.

[dima_1985]

ShMaxG в сообщении #1300138 писал(а):

наверное вы опечатались, и вместо $Z$ пишете $X$?

. Да.

ShMaxG в сообщении #1300138 писал(а):

Получаете некоторое выражение, зависящее от $Y$ (будьте аккуратны с интегралами, ведь может быть $Y=0$

Тут наверное вы опечатались, и вместо $X$ пишете $Y$.
Я вот хочу внести немного ясности для себя. Вот вы пишите

ShMaxG в сообщении #1300138 писал(а):

Формула полной вероятности -- наше все:

$$\mathbb{E}f(X,Y)=\sum\limits_{k=1}^n \mathbb{E}(f(X,Y)|Y=y_k)\mathbb{P}(Y=y_k)$$

То, что вы предлагаете -- верно, это вы применяете формулу выше и пользуетесь независимостью $X$ и $Y$.

. В теории вероятности обычно $f(X,Y)$ это функция плотности совместного распределения? Может напишем так $\varphi(X,Y)=\exp(XY)$.Тогда формула примет вид

$$\mathbb{E}\varphi(X,Y)=\sum\limits_{k=1}^n \mathbb{E}(\varphi(X,Y)|Y=y_k)\mathbb{P}(Y=y_k)$$

.Если мы фиксируем $Y=y_k$.Можно написать так

$$\mathbb{E}\varphi(X,Y)=\sum\limits_{k=1}^n \mathbb{E}(\varphi(X,y_k)|Y=y_k)\mathbb{P}(Y=y_k)$$

? Мне кажется это более логично так как если мы положили $Y=y_k$ теперь $ \varphi(X,Y=y_k) $ зависит только от $X$?А дальше можем воспользоваться свойством $\mathbb{E}\varphi(X,Y=y_k)=\int\limits_{1}^{3}\varphi(x,y_k)f(x)dx$ ; где $f(x)-$ функция плотности $X$.

[ShMaxG]

dima_1985 в сообщении #1300160 писал(а):

Тут наверное вы опечатались, и вместо $X$ пишете $Y$.

Нет, я не опечатался.

dima_1985 в сообщении #1300160 писал(а):

В теории вероятности обычно $f(X,Y)$ это функция плотности совместного распределения? Может напишем так $\varphi(X,Y)=\exp(XY)$.

Ну а $\varphi$ -- это обычно характеристическая функция Без разницы, как обозначать.

dima_1985 в сообщении #1300160 писал(а):

Если мы фиксируем $Y=y_k$.Можно написать так

$$\mathbb{E}\varphi(X,Y)=\sum\limits_{k=1}^n \mathbb{E}(\varphi(X,y_k)|Y=y_k)\mathbb{P}(Y=y_k)$$

?

Можно, равенство $\mathbb{E}(\varphi(X,Y)|Y=y_k)=\mathbb{E}(\varphi(X,y_k)|Y=y_k)$ прямо следует из определения условного математического ожидания при событии-условии ненулевой меры. Советую учебники почитать, обычно там об этом пишут.

dima_1985 в сообщении #1300160 писал(а):

А дальше можем воспользоваться свойством $\mathbb{E}\varphi(X,Y=y_k)=\int\limits_{1}^{3}\varphi(x,y_k)f(x)dx$ ; где $f(x)-$ функция плотности $X$.

Да.