2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Из какого раздела ЭТИ свойства ограничений на элем. матрицы?
Сообщение27.03.2018, 14:10 
Аватара пользователя


07/03/06
128
Уважаемые математики.
Недавно я столкнулся со следующими свойствами специальных линейных ограничений на элементы квадратной матрицы.

\begin{theorem}{\bf Терема 1} (об общем решении СЛАУ)\label{L_T}
\ \ Пусть $A\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ некоторая квадратная матрица ($n\ge 2$), элементы которой удовлетворяют $n^3$ линейным ограничениям:
\begin{eqnarray}
\displaystyle
&& a_{ik} + a_{kj} - a_{ij} = 0 \quad i,\, j,\, k=1,...,n\; ,
\label{restrictions}
\end{eqnarray}
и пусть последовательность постоянных матриц $\{\Theta^{(k)}\}_{k=1}^n$ определяется поэлементно через символы Кронекера:
\begin{eqnarray}
\displaystyle
&& \theta_{ij}^{(k)} = \delta_i^k - \delta_j^k\quad i,\, j,\, k=1,...,n\; ,
\label{G_Matrix}
\end{eqnarray}
тогда из линейной оболочки матриц $\{\Theta^{(k)}\}_{k=1}^n$ можно выбрать матрицы $B^{(1)},\, ...,\, B^{(n-1)}\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ (не единственным образом!) так, чтобы выполнялись условия их линейной независимости:
\begin{eqnarray}
\displaystyle
&& \sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k\, B^{(k)} = O \quad\Rightarrow\quad\sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k^2 = 0 \; ,
\label{lin_undep}
\end{eqnarray}
а для матрицы $A$ указать затем единственный набор чисел $t_1,\, ...,\, t_{n-1}$ таких, что
\begin{eqnarray}
\displaystyle
&& A = \sum_{k=1}^{n-1} t_k\, B^{(k)} \; .
\label{c_solution}
\end{eqnarray}
\end{theorem}

Эта теорема имеет логическую структуру: Пусть $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$, тогда $\mathfrak{C}$ и $\mathfrak{D}$. Подчинённость инстанций: $\mathfrak{C}=f(\mathfrak{B})$, $\mathfrak{D}=g(\mathfrak{A},\mathfrak{C})$.

\setcounter{equation}{4}\begin{theorem}{\bf Терема 2} (Следствие)\label{S_T}
\ \ Пусть $G\in{\rm I \! R}^{n^3\times n^2}$ матрица линейных ограничений (1) на переменные $\{a_{ij}\}_{i,j=1}^n$ ($n\ge 2$), тогда 
\begin{eqnarray}
\displaystyle
&& {\rm rank}(G) = n^2 - n + 1\; . 
\label{Rank}
\end{eqnarray}
\end{theorem}

Таким образом система ограничений (1) оставляет в квадратной матрице $A$ ровно $n-1$ степеней свободы.

\setcounter{equation}{5}\begin{theorem}{\bf Терема 3} (Слейтера)\label{T_T}
\ \ При $n\ge 2$ существует квадратная матрица $A^{(0)}\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ с нулями на главной диагонали такая, что её элементы удовлетворяют $n^2\,(n-1)/2$ неравенствам:
\begin{eqnarray}
\displaystyle
&& a_{ik}^{(0)} + a_{kj}^{(0)} - a_{ij}^{(0)} > 0 \quad i,\, j,\, k=1,...,n\; , \quad k\ne i\, ,\quad k\ne j\, .
\label{Sleyter}
\end{eqnarray}
\end{theorem}

На тему "матричные ограничения" я нашёл в Форуме только одну ветку: topic19297.html.

Мне известно, что приведённые 3 теоремы и их доказательства элементарны. Однако, не верится, что ничего подобного ранее не писали и не публиковали... Может, это частный случай какой-то более продвинутой математической теории? Может это из алгебраической геометрии? Может есть какая-то история на эту тему, о Кенигсбергских мостах или о сокращении путей в графах? Может, кто-то знает похожие теоремы?...

ВОПРОС: Кем впервые были сформулированы и доказаны эти 3 теоремы? Существует ли конкретная литературная ссылка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого раздела ЭТИ свойства ограничений на элем. матрицы?
Сообщение27.03.2018, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
У Вас теорема 3 помечена как Слейтера, может, Слейтер что-то написал по этому поводу? Это тот же самый Слейтер, который в условии регулярности Слейтера в теории оптимизации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Из какого раздела ЭТИ свойства ограничений на элем. матрицы?
Сообщение27.03.2018, 15:22 
Аватара пользователя


07/03/06
128
Xaositect в сообщении #1300024 писал(а):
У Вас теорема 3 помечена как Слейтера, может, Слейтер что-то написал по этому поводу? Это тот же самый Слейтер, который в условии регулярности Слейтера в теории оптимизации?
-- Да. Это теорема "о внутренней точке". Мне кажется, предложенные 3 теоремы точно не из теории оптимизации. (Может быть "для", но не "из".) 8-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group