Из какого раздела ЭТИ свойства ограничений на элем. матрицы?

[Кролик]

Уважаемые математики.
Недавно я столкнулся со следующими свойствами специальных линейных ограничений на элементы квадратной матрицы.

\begin{theorem}{\bf Терема 1} (об общем решении СЛАУ)\label{L_T} \ \ Пусть $A\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ некоторая квадратная матрица ($n\ge 2$), элементы которой удовлетворяют $n^3$ линейным ограничениям: \begin{eqnarray} \displaystyle && a_{ik} + a_{kj} - a_{ij} = 0 \quad i,\, j,\, k=1,...,n\; , \label{restrictions} \end{eqnarray} и пусть последовательность постоянных матриц $\{\Theta^{(k)}\}_{k=1}^n$ определяется поэлементно через символы Кронекера: \begin{eqnarray} \displaystyle && \theta_{ij}^{(k)} = \delta_i^k - \delta_j^k\quad i,\, j,\, k=1,...,n\; , \label{G_Matrix} \end{eqnarray} тогда из линейной оболочки матриц $\{\Theta^{(k)}\}_{k=1}^n$ можно выбрать матрицы $B^{(1)},\, ...,\, B^{(n-1)}\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ (не единственным образом!) так, чтобы выполнялись условия их линейной независимости: \begin{eqnarray} \displaystyle && \sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k\, B^{(k)} = O \quad\Rightarrow\quad\sum_{k=1}^{n-1} \alpha_k^2 = 0 \; , \label{lin_undep} \end{eqnarray} а для матрицы $A$ указать затем единственный набор чисел $t_1,\, ...,\, t_{n-1}$ таких, что \begin{eqnarray} \displaystyle && A = \sum_{k=1}^{n-1} t_k\, B^{(k)} \; . \label{c_solution} \end{eqnarray} \end{theorem}

Эта теорема имеет логическую структуру: Пусть $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{B}$, тогда $\mathfrak{C}$ и $\mathfrak{D}$. Подчинённость инстанций: $\mathfrak{C}=f(\mathfrak{B})$, $\mathfrak{D}=g(\mathfrak{A},\mathfrak{C})$.

\setcounter{equation}{4}\begin{theorem}{\bf Терема 2} (Следствие)\label{S_T} \ \ Пусть $G\in{\rm I \! R}^{n^3\times n^2}$ матрица линейных ограничений (1) на переменные $\{a_{ij}\}_{i,j=1}^n$ ($n\ge 2$), тогда \begin{eqnarray} \displaystyle && {\rm rank}(G) = n^2 - n + 1\; . \label{Rank} \end{eqnarray} \end{theorem}

Таким образом система ограничений (1) оставляет в квадратной матрице $A$ ровно $n-1$ степеней свободы.

\setcounter{equation}{5}\begin{theorem}{\bf Терема 3} (Слейтера)\label{T_T} \ \ При $n\ge 2$ существует квадратная матрица $A^{(0)}\in{\rm I \! R}^{n\times n}$ с нулями на главной диагонали такая, что её элементы удовлетворяют $n^2\,(n-1)/2$ неравенствам: \begin{eqnarray} \displaystyle && a_{ik}^{(0)} + a_{kj}^{(0)} - a_{ij}^{(0)} > 0 \quad i,\, j,\, k=1,...,n\; , \quad k\ne i\, ,\quad k\ne j\, . \label{Sleyter} \end{eqnarray} \end{theorem}

На тему "матричные ограничения" я нашёл в Форуме только одну ветку: topic19297.html.

Мне известно, что приведённые 3 теоремы и их доказательства элементарны. Однако, не верится, что ничего подобного ранее не писали и не публиковали... Может, это частный случай какой-то более продвинутой математической теории? Может это из алгебраической геометрии? Может есть какая-то история на эту тему, о Кенигсбергских мостах или о сокращении путей в графах? Может, кто-то знает похожие теоремы?...

ВОПРОС: Кем впервые были сформулированы и доказаны эти 3 теоремы? Существует ли конкретная литературная ссылка?

[Xaositect]

У Вас теорема 3 помечена как Слейтера, может, Слейтер что-то написал по этому поводу? Это тот же самый Слейтер, который в условии регулярности Слейтера в теории оптимизации?

[Кролик]

Xaositect в сообщении #1300024 писал(а):

У Вас теорема 3 помечена как Слейтера, может, Слейтер что-то написал по этому поводу? Это тот же самый Слейтер, который в условии регулярности Слейтера в теории оптимизации?

-- Да. Это теорема "о внутренней точке". Мне кажется, предложенные 3 теоремы точно не из теории оптимизации. (Может быть "для", но не "из".)